Was bedeutet Super Script 2 Subscript 2 im Kontext von Normen?

Ich bin neu in der Optimierung. Ich sehe immer wieder Gleichungen mit einem hochgestellten 2 und einem tiefgestellten 2 auf der rechten Seite einer Norm. Hier ist zum Beispiel die Gleichung der kleinsten Quadrate

min $||Ax-b||^2_2$

Ich glaube, ich verstehe das hochgestellte 2: Es bedeutet, den Wert der Norm zu quadrieren. Aber was ist der Index 2? Wie soll ich diese Gleichungen lesen?

regression optimization notation

— bernie2436
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| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ ist die

ℓ_{p}

$\ell_p$ -Norm von

θ

$\theta$ . Angenommen,

θ

$\theta$ ist

d

$d$ dimensional, dann

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Sobi

Einzelne vertikale Striche werden für den Absolutwert (Betrag) verwendet:

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi

Danke! ... aber wofür ist der hochgestellte Code 2? ... der tiefgestellte Code ist für die p-te Norm ... der hochgestellte Code ist für?

— Mathopt

@ user1467929: Quadrieren - wenn es noch etwas anderes ist, hätten sie es bestimmt gesagt.

— Scortchi - Wiedereinsetzung von Monica

Antworten:

Sie haben Recht mit dem hochgestellten Text. Der Index $||.||_p$ gibt die $p$ Norm an.

Deshalb:

| | x_{ich} | |_{p} = (\sum_{ich} | x_{ich} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

Und:

| | x_{ich} | |_{p}^{p} = \sum_{ich} | x_{ich} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
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Ah. Und es gibt Konventionen für die Bedeutung der Indizes, die ich sehe. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Also wie 1 = Taxin-Norm, 2 = Euklid-Norm usw.

— bernie2436

@ bernie2436: Dies sind Sonderfälle der allgemeinen Definition in der obigen Antwort (außer vielleicht der Supernorm mit

)

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

ist die euklidische Norm des Vektors ; ist die quadratische euklidische Norm von . Beachten Sie, dass es sich bei der euklidischen Norm wahrscheinlich um die am häufigsten verwendeten Normen handelt, die routinemäßig mit abgekürzt werden. Per Definition unter der Annahme eines euklidischen Vektorraums: $\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ . $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Wie in den Kommentaren erwähnt, bezieht sich der Index auf den Grad der Norm. Andere häufig verwendete Normen sind für , und . Für erhält man die Anzahl der Nicht-Null-Elemente in , für (dh ) erhält man die Manhattan-Norm und für erhält man den maximalen Absolutwert aus den Elementen in . Sowohl als auch $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ ist beliebt in spärlichen / komprimierten Anwendungseinstellungen, in denen ein oder mehrere Koeffizienten auf Null "gedrängt" werden sollen. $p = 1$

— usεr11852 sagt Reinstate Monic
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