Was ist bei n gleichmäßig verteilten rvs das PDF für ein rv geteilt durch die Summe aller n rvs?

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Ich interessiere mich für die folgende Art von Fall: Es gibt 'n' kontinuierliche Zufallsvariablen, die sich zu 1 summieren müssen. Was wäre dann das PDF für eine einzelne solche Variable? Wenn also , interessiert mich die Verteilung für , wobei und alle gleichmäßig verteilt sind. Der Mittelwert in diesem Beispiel beträgt natürlich , da der Mittelwert nur beträgt , und obwohl es einfach ist, die Verteilung in R zu simulieren, weiß ich nicht, wie die tatsächliche Gleichung für PDF oder CDF lautet. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Diese Situation hängt mit der Irwin-Hall-Verteilung zusammen ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Nur Irwin-Hall ist die Verteilung der Summe von n einheitlichen Zufallsvariablen, während ich die Verteilung für eine von n einheitlichen RVs geteilt durch die Summe aller n Variablen möchte. Vielen Dank.

uniform

— user3593717
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Wenn die kontinuierliche einheitliche Zufallsvariablen Summe , dann mit , und so die Verteilung von ist das gleiche wie die Verteilung von , richtig?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

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Ich sollte mich korrigieren: Die N Gleichverteilungen summieren sich nicht zu 1. Ich gehe davon aus, dass sie jeweils zwischen 0 und 1 einheitlich sind, und daher kann ihre Summe zwischen 0 und N liegen. Ich denke darüber nach, jede einheitliche Variable zu nehmen und zu teilen Es ergibt sich aus der Summe aller N einheitlichen Variablen eine Menge von N Zufallsvariablen, die sich zu 1 summieren und den erwarteten Wert 1 / N haben. Hinweis: Ich habe das Wort "Uniform" aus meinem ersten Satz entfernt. Die Verteilung, nach der ich suche, ist nicht einheitlich, sondern ergibt sich aus der Division einer von N einheitlichen Variablen durch die Summe aller N einheitlichen Variablen. Ich bin mir nur nicht sicher wie.

— user3593717

Wenn die exponentiell verteilt sind, hat der Vektor normalisierter Variablen eine Dirichlet-Verteilung. Dies mag an sich von Interesse sein, könnte aber auch Taktiken für diese Art von Situation liefern.

X_{i}

$X_i$

— Vermutungen

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Die Haltepunkte in der Domäne machen es etwas chaotisch. Ein einfacher, aber langwieriger Ansatz besteht darin, bis zum Endergebnis aufzubauen. Für sei und Dann ist $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Die Haltepunkte liegen bei 1 für 1 und 2 für 2 und 3 für und und für Ich fand das vollständige PDF $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Das cdf kann dann gefunden werden als

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
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+1 Schön. Auch Ihre Dichte stimmt wunderbar mit der Simulation überein .

— Glen_b -State Monica

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Sei . Wir können das cdf von indem wir berechnen Wir differenzieren und ersetzen dann das Irwin-Hall-PDF, um das gewünschte PDF zu erhalten: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ Von hier aus wird es etwas chaotisch, aber Sie sollten in der Lage sein, das Integral und die Summation und dann eine Substitution durchzuführen (z. B. ), um das Integral zu bewerten und somit ein zu erhalten explizite Formel für das PDF.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
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1

Vorausgesetzt

"Die N Gleichverteilungen summieren sich nicht zu 1."

So habe ich angefangen (es ist unvollständig):

Betrachten Sie und lassen Sie durch einen leichten Missbrauch der Notation. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Betrachten Sie und : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Dann folgende Transformation von Variablen :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von ist gegeben durch: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Wobei und $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

Und

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Somit ist

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

und $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— rechtsgesägt
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Angenommen, wir wissen bereits, dass die Summe von eine Irwin-Hall-Verteilung hat. Jetzt ändert sich Ihre Frage, um das PDF (oder CDF) von wenn X eine -Verteilung und eine Irwin-Hall-Verteilung hatte. $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

Zuerst müssen wir das gemeinsame PDF von und . $X$ $Y$

Sei $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Dann

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Da mit sind daher $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

Die gemeinsame Verteilung mit ist $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Als nächstes integrieren wir das und wir können die gemeinsame Verteilung von und dh die gemeinsame Verteilung von und $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Wie von whuber vorgeschlagen, habe ich jetzt die Grenzen geändert

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Nun, wir wissen , die gemeinsame pdf von , dh gemeinsame pdf und ist . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Als nächstes suchen wir das PDF von $\frac{X}{Y}$

Wir brauchen eine weitere Transformation:

Sei $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Dann ist $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Dann

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

Wir haben bereits die gemeinsame Verteilung von aus den obigen Schritten ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Als nächstes integrieren wir das heraus, wir erhalten das PDF von dann erhalten wir das PDF von $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Dies ist das PDF von dh $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Wir sind noch nicht fertig, was ist dann in (2) ? $y_3$

Wir wissen, dass aus der ersten Transformation. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Zumindest wissen wir, dass eine Irwin-Hall- Verteilung hat. $Y_3$

Ich frage mich, ob wir die Irwin-Halle für pdf an (2) anschließen können , um eine explizite Formel zu erhalten. oder können wir von hier aus einige Simulationen durchführen, wie Glen vorgeschlagen hat? $n=3$

— Tiefer Norden
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Die Simulation scheint mit diesem PDF nicht übereinzustimmen.

— Glen_b -State Monica

Die Logik und die Schritte scheinen korrekt zu sein, aber ich fühle mich bei dieser Lösung unwohl.

— Deep North

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Wenn Sie integriert haben , mussten Sie die Bedingungen und berücksichtigen .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber