Schiefe, Kurtosis und wie viele Standardabweichungen vom Mittelwert abweichen

Wie für die Normalverteilung bekannt ist, liegen 68% der Wahrscheinlichkeitsmasse innerhalb einer Standardabweichung des Mittelwerts, 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7% innerhalb von 3 Standardabweichungen.

Ich habe jedoch einige empirische Verteilungen, die leptokurtisch und negativ verzerrt sind. Gibt es unter solchen Umständen eine Formel, die auf ihren Momenten höherer Ordnung basiert, um zu berechnen, wie viel der Wahrscheinlichkeitsmasse innerhalb so vieler Standardabweichungen vom Mittelwert liegt?

Ich habe ein Maß und möchte einen Eindruck davon vermitteln, wie weit es vom Mittelpunkt entfernt ist (Mittelwert oder ein anderes Maß für die zentrale Tendenz).

Kann das gemacht werden?

$-$

Genaue numerische Fakten, wie Sie sie für das Normale (Gaußsche) im Allgemeinen zitieren, hängen davon ab, ob Sie eine oder mehrere der Dichte-, Verteilungs- oder Quantilfunktionen kennen, numerisch, wenn nicht analytisch.

Es gibt jedoch keine allgemeinen Beziehungen, wenn man nur die Schiefe oder Kurtosis kennt. Schiefe und Kurtosis bestimmen im Allgemeinen nicht die Form der Verteilung, da auch höhere Momente variieren können.

Hier ist eine genaue Antwort, die zeigt, dass die mittlere absolute Abweichung vom Mittelwert nicht unbedingt mit der Kurtosis zusammenhängt.

$X = \mu + \sigma Z$$Z$

$Z = -0.5$$.25$

$= +0.5$$.25$

$= -1.2$$.25 - \theta/2$

$= +1.2$$.25 - \theta/2$

$= -\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

$= +\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

$X$$\mu$$\sigma$$\theta$$(-\infty, +\infty)$$(0, +\infty)$$(0,.5)$

$E(X) = \mu$$Var(X) = \sigma^2$$0.5\sigma$

$X$

$= E(Z^4) = .5^4 * .5 + 1.2^4 * (.5 - \theta) + (0.155/\theta + 1.44)^2 * \theta$

Innerhalb dieser Familie,

$\theta \rightarrow 0$

$\mu \pm \sigma$$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm 1.2\sigma$$\mu \pm 0.5\sigma$$0.25$

$0.5\sigma$