Kann ich diese Bayes'sche Linie berechnen, ohne jeden Punkt simulieren zu müssen?

Kahneman und Tversky erwähnen, dass in diesem Diagramm der Wert von (hohe vorherige Gruppe) / (niedrige vorherige Gruppe) 5,44 betragen sollte.

Kahneman und Tversky nennen die gekrümmte Linie eine "Bayes'sche Linie" und ich glaube zu verstehen, wie es funktioniert. Wenn zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit am niedrigen Prior 0,5 beträgt, dann sind die Chancen 1. Ich nehme 1 * 5,44 = 5,44 und konvertiere von dort zurück zu Wahrscheinlichkeiten 5,44 / (5,44 + 1) = 0,85. In der Tat beträgt der y-Wert der gekrümmten Linie ungefähr 0,85 an dem Punkt, an dem der niedrige Prior 0,5 beträgt.

Nehmen wir jedoch an, ich habe eine andere Situation und weiß, dass die (hohe vorherige Gruppe) / (niedrige vorherige Gruppe) etwas anderes sein sollte, z. B. 2. Ich könnte leicht ein Programm schreiben, um den korrekten Wert für die gekrümmte Linie für niedrige vorherige zu berechnen Gruppe = 0,01, 0,02, 0,03 usw. bis 1. Ich frage mich jedoch, ob es vielleicht eine elegantere Lösung gibt.

Kahneman, D. & Tversky, A. (1973). Zur Psychologie der Vorhersage . Psychological Review, 80 (4), 237.

Wie Kahneman & Tversky erklären und wie Sie genau angegeben haben, wandelt die Handlung eine Wahrscheinlichkeit um $p$ (auf der horizontalen Achse) zu Quoten multipliziert dies mit einem Quotenverhältnis $\alpha = 5.44$, wandelt es dann wieder in eine Wahrscheinlichkeit um $q$auf der vertikalen Achse aufgetragen. Es zeigt, wie die Bayes-Regel für ein festes Quotenverhältnis funktioniert, das auf alle möglichen Wahrscheinlichkeiten angewendet wird$p$ die hintere Wahrscheinlichkeit zu erzeugen $q$.

Weil die Chancen einer Wahrscheinlichkeit $p$ im Bereich $(0,1)$ ist

$$y = \frac{p}{1-p},$$

einfache Algebra findet die Wahrscheinlichkeit in Form von Gewinnchancen,

$$p = \frac{y}{1+y}.\tag{1}$$

Bewirbt sich $(1)$ zu einer Quote von $\alpha y$ anstatt $y$ gibt

$$q = \frac{\alpha y}{1 + \alpha y} = \frac{\alpha p}{1-p + \alpha p}.$$

Das ist die Gleichung des Graphen. Es ist das, was Ihr Programm für jeden berechnen sollte$p$ zwischen $0$ und $1$. (Offensichtlich,$p=0$ sollte entsprechen $q=0$ und $p=1$ zu $q=1$ um die Diagramme an ihren Endpunkten kontinuierlich zu machen.)

Zur Veranschaulichung sind hier Diagramme für verschiedene Quotenverhältnisse größer als $1$::