Betrachten Sie eine zweimal differenzierbare und symmetrische Verteilung . Betrachten Sie nun eine zweite zweimal differenzierbare Verteilung rigth, die in dem Sinne verzerrt ist, dass:F$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Dabei ist die konvexe Ordnung von van Zwet [0], so dass äquivalent ist zu: ( 1 $\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Betrachten Sie nun eine dritte zweimal differenzierbare Verteilung erfüllt:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Meine Frage ist: Können wir immer eine Verteilung und eine symmetrische Verteilung , um jedes (alle drei wie oben definiert) in Bezug auf eine Zusammensetzung von umzuschreiben und als:F X F Z F X F$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

oder nicht?

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Wenn beispielsweise der Weibull mit dem Formparameter 3.602349 ist (so dass er symmetrisch ist) und die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 3/2 ist (so dass er recht schief ist), Ich bekommeF$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

indem Sie als Weibull-Verteilung mit dem Formparameter 2.324553 festlegen. Beachten Sie, dass alle drei Verteilungen Folgendes erfüllen:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ Bedarf. Ich frage mich, ob dies im Allgemeinen zutrifft (unter den angegebenen Bedingungen).

• [0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.

Nein!

Ein einfaches Gegenbeispiel liefert die Tukey Verteilung (der Sonderfall für der Tukey und Verteilung).h = 0 g $g$$h=0$$g$$h$

Zum Beispiel sei der Tukey mit dem Parameter und der Tukey mit dem Parameter und eine Tukey Verteilung, für die . Da , erfüllen diese drei Verteilungen: g g X =0 F Z g g Z >0 F$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$g Y ≤ g Z h = $g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(Der erste stammt aus der Definition des Tukey der symmetrisch ist, wenn , der nächste aus [0], Satz 2.1 (i)).g = $g$$g=0$

Zum Beispiel haben wir für :$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(Aus irgendeinem Grund scheint das Minimum immer in der Nähe von ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] HL MacGillivray-Form-Eigenschaften der Familien g-and-h und Johnson. Comm. Statist.-Theory Methods, 21 (5) (1992), S. 1233–1250

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Im Fall des Weibull ist die Behauptung wahr:

Sei die Weibull-Verteilung mit dem Formparameter (der Skalierungsparameter beeinflusst die konvexe Reihenfolge nicht, sodass wir ihn ohne Verlust der Allgemeinheit auf 1 setzen können). Ebenso , und und .w Z F Y F X w Y w $\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Beachten Sie zunächst, dass drei beliebige Weibull-Verteilungen immer im Sinne von [0] geordnet werden können.

Beachten Sie als :

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Nun zum Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

damit

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

schon seit

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Daher kann der Anspruch immer durch Setzen von .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Mittelwert, Median, Modus II (1979). Statistica Neerlandica. Band 33, Ausgabe 1, Seiten 1-5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Schiefe für die Familie weibull. Statistica Neerlandica. Band 40, Ausgabe 3, Seiten 135–140.