Finden Sie die gemeinsame Verteilung von und

Diese Frage stammt aus Robert Hoggs Einführung in die mathematische Statistik, 6. Version, Frage 7.6.7. Das Problem ist :

Es sei eine Zufallsstichprobe der Größe aus einer Verteilung mit dem PDF $n$
$f (x; θ) = (1 / θ) \exp (- x / θ) I_{(0, \infty)} (x)$ $f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)$

Finden Sie die MLE und die MVUE von . $P(X \le 2)$

Ich weiß, wie man die MLE findet.

Ich denke, die Idee, die MVUE zu finden, besteht darin, Rao-Blackwell und Lehmann und Scheffe zu verwenden. Zuerst finden wir einen unverzerrten Schätzer von der , und wir kennen a ausreichende Statistik. $P(X \le 2)$ $\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Dann ist das MUVE. $\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y]$

Um die Erwartung zu finden, müssen wir die gemeinsame Verteilung von und $X_1$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Ich stecke hier fest.

Das Buch hat eine Lösung, aber ich verstehe die Lösung nicht. Die Lösung besagt, dass wir die gemeinsame Verteilung von und aber zuerst und der Jacobi ist einer, dann integrieren wir diese anderen Variablen. $Z=X_1$ $Y$ $V=X_1+X_2$ $U=X_1+X_2+X_3+...$

Wie kommt es, dass der Jakobianer gleich eins ist?

Die Antwort für die gemeinsame Verteilung lautet
$g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{(n - 2)! θ^{n}} e^{- y / θ}$ $g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta}$

Wie bekommen wir das?

Update: Wie von Xi'an vorgeschlagen (das Buch schlug vor, dass Transformation verwirrend ist), lassen Sie uns die Transformation folgendermaßen durchführen:

Lassen

\begin{aligned} Y_{1} & = X_{1}, \\ Y_{2} & = X_{1} + X_{2}, \\ Y_{3} & = X_{1} + X_{2} + X_{3}, \\ Y_{4} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}, \\ ⋮ \\ Y_{n} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + \dots + X_{n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots \\Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align}$

dann

\begin{aligned} X_{1} & = Y_{1}, \\ X_{2} & = Y_{2} - Y_{1}, \\ X_{3} & = Y_{3} - Y_{2}, \\ X_{4} & = Y_{4} - Y_{3}, \\ ⋮ \\ X_{n} & = Y_{n} - Y_{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} X_1 & =Y_1, \\ X_2 & =Y_2-Y_1,\\ X_3 & =Y_3-Y_2,\\X_4 & =Y_4-Y_3,\\ & \,\,\,\vdots \\ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align}$

und der entsprechende Jacobianer ist:

| J | = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{n}} \end{matrix} | = \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{array} = 1

$\left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \\ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \\ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1$

Da iid [oder ] sind, beträgt die von : $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\Gamma(1,\theta)$ $\mathcal{E}(1/\theta)$ $x_1,x_2,\ldots,x_n$

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{θ} \exp (- x_{1} / θ) \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{2} / θ) \times \dots \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{n} / θ) I_{x_{1} \geq 0} \dots I_{x_{n} \geq 0}

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}_{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}_{x_n\ge 0}$

Daher ist die gemeinsame PDF ist $(Y_1,Y_2,\ldots, Y_n)$

\begin{aligned} h (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) & = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{1} / θ) \exp [- (y_{2} - y_{1}) / θ] \exp [- (y_{3} - y_{2}) / θ] \dots \exp [- (y_{n} - y_{n - 1}) / θ] | J | I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} - y_{1} \geq 0} \dots I_{y_{n} - y_{n - 1} \geq 0} \\ = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} \geq y_{1}} \dots I_{y_{n} \geq y_{n - 1}} \end{aligned}

$\begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}_{y_1\ge 0}\mathbb{I}_{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}_{y_n-y_{n-1} \ge 0}\\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}_{y_1\ge 0} \mathbb{I}_{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}_{y_n\ge y_{n-1}}\end{align*}$

Als nächstes können wir , um das gemeinsame PDF und $y_2,y_3,\ldots,y_{n-1}$ $y_1$ $y_n$

Dank der Vorschläge von Xi'an, jetzt kann ich das Problem lösen, ich werde unten detaillierte Berechnungen geben

\begin{aligned} g (y_{1}, y_{n}) = & \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \\ \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} (y_{n} - y_{n - 2}) d y_{n - 2} d y_{n - 3} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 3})^{2}}{2} d y_{n - 3} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 4})^{3}}{2 \times 3} d y_{n - 4} d y_{n - 5} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 7}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 5})^{4}}{2 \times 3 \times 4} d y_{n - 5} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \dots \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \frac{(y_{n} - y_{1})^{n - 2}}{(n - 2)!} \end{aligned}

$\begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} \, dy_{n-1}\,dy_{n-2}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2})\,dy_{n-2}\,dy_{n-3}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} \,dy_{n-4}\cdots dy_3 \, dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} \, dy_{n-4} \, dy_{n-5} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} \, dy_{n-5} \, dy_{n-4} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \cdots \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align}$

Wechseln Sie in die Notation des Buches, , wir erhalten $y=y_n, z=y_1$

g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} e^{- y / θ} .

$g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}.$

Dies löst das Problem.

— Tiefer Norden
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Ich verstehe den Begriff, über aber die Transformation von zu hat einen Jacobi von eins die Definition eines Jacobian.

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

(x_{1}, . . ., x_{n})

$(x_1,...,x_n)$

(x_{1}, x_{1} + x_{2}, \dots, x_{1} + \dots + x_{n})

$(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+\ldots+x_n)$

— Xi'an

@ Xi'an, danke. Ich habe die Transformation versucht, kann aber immer noch nicht die Lösung finden, die das Buch vorgeschlagen hat

Y_{1} = X_{1}, Y_{2} = X_{1} + X_{2}, . . ., Y_{n} = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}

$Y_1=X_1, Y_2=X_1+X_2,..., Y_n=X_1+X_2+...+X_n$

— Deep North

Sie sind fast da: Ich habe die Ableitung der von durch Hinzufügen der Indikatorfunktionen korrigiert . Dies impliziert , dass die Grenzen für die Integrale von sollten Wenn Sie zuerst , dann , dann ... Dies wird Ihnen das fehlende liefern.

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

y_{2}, \dots, y_{n - 1}

$y_2,\ldots,y_{n-1}$

\int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}}

$\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-2}}^{y_n}$

y_{n - 1}

$y_{n-1}$

y - n - 2

$y-{n-2}$

(n - 2)!

$(n-2)!$

— Xi'an

Das Transformationsargument funktioniert gut und ist immer nützlich, aber ich werde jetzt einen alternativen Weg vorschlagen, um dieses Problem zu lösen, der eine gewisse Ähnlichkeit mit der Methode aufweist, die Sie verwenden würden, wenn die Variablen diskret wären. Denken Sie daran, dass der Hauptunterschied darin besteht, dass für eine diskrete Zufallsvariable für ein kontinuierliches rv gut definiert ist , , also müssen wir ein wenig vorsichtig sein. $X$ $P(X=x)$ $Y$ $P(Y=y)=0$

Sei und wir suchen nun nach der gemeinsamen Verteilung $S=\sum_{i=1}^n X_i$

f_{X_{1}, S} (x_{1}, s)

$f_{X_1, S} \left(x_1, s \right)$

was wir mit der Wahrscheinlichkeit approximieren können

\begin{aligned} f_{X_{1}, S} (x_{1}, s) & \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s < S < s + Δ s] \\ \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ = P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}] P [s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ \approx \frac{1}{θ} \exp {- \frac{x_{1}}{θ}} \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2} \exp {- \frac{s - x_{1}}{θ}}}{Γ (n - 1) θ^{n - 1}} \\ = \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} \exp {- \frac{s}{θ}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1, S} \left(x_1, s \right) &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s<S<s+\Delta s \right] \\ &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &= P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 \right] P \left[ s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &\approx \frac{1}{\theta} \exp\left\{-\frac{x_1}{\theta}\right\} \frac{ \left(s-x_1\right)^{n-2} \exp\left\{-\frac{s-x_1}{\theta} \right\}}{\Gamma \left(n-1 \right) \theta^{n-1}} \\ &= \frac{\left(s-x_1\right)^{n-2}}{\theta^n \left(n-2\right)!} \exp\left\{-\frac{s}{\theta} \right\} \end{align}$

für . Beachten Sie, dass wir in der vierten Zeile die Additivitätseigenschaft der Gammaverteilung verwendet haben, deren Exponential ein Sonderfall ist. $0<x_1<s<\infty$

Wenn Sie die Notation anpassen, erhalten wir hier das Gleiche wie oben. Diese Methode ermöglicht es Ihnen, mit der Mehrfachintegration durchzukommen, und deshalb bevorzuge ich sie. Seien Sie jedoch auch hier vorsichtig, wie Sie die Dichten definieren.

Hoffe das hilft.

— JohnK
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Korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber ich glaube nicht, dass man die bedingte Verteilung finden muss, um die bedingte Erwartung für die UMVUE zu finden. Wir können den bedingten Mittelwert anhand bekannter Beziehungen zwischen unabhängigen Beta- und Gamma-Variablen ermitteln. Insbesondere die Tatsache, dass wenn und unabhängige Gamma-Variablen sind, eine Gamma-Variable ist und unabhängig von der Beta-Variable . $U$ $V$ $U+V$ $\frac{U}{U+V}$

Beachten Sie hier, dass und sind unabhängig verteilt. Und wird unabhängig von . $X_1\sim\text{Gamma}(1,\frac{1}{\theta})$ $\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n-1,\frac{1}{\theta})$ $X_1+\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n,\frac{1}{\theta})$ $\dfrac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\sim\text{Beta}(1,n-1)$

Definiere $h(X_1,\cdots,X_n)=\begin{cases}1&,\text{ if }X_1\le2\\0&,\text{ otherwise }\end{cases}$

$T=\sum_{i=1}^n X_i$ ist vollständig genug für die Verteilungsfamilie . $\{1-\exp(-\frac{x}{\theta}):\theta>0\}$

Der UMVUE von ist also nach dem Lehmann-Scheffe-Theorem . $P(X\le 2)$ $E(h\mid T)$

Wir haben

\begin{aligned} E (h ∣ T = t) & = P (X_{1} \leq 2 ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t}) \\ = \int_{0}^{2 / t} \frac{(1 - x)^{n - 2}}{B (1, n - 1)} d x \\ = 1 - {(1 - \frac{2}{t})}^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align}E(h\mid T=t)&=P(X_1\le2\mid \sum_{i=1}^n X_i=t)\\&=P\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\right)\\&=\int_0^{2/t}\frac{(1-x)^{n-2}}{B(1,n-1)}\,\mathrm{d}x\\&=1-\left(1-\frac{2}{t}\right)^{n-1}\end{align}$

Daraus ergibt sich die UMVUE von sollte . $P(X\le2)$ $1-\left(1-\dfrac{2}{\sum_{i=1}^nX_i}\right)^{n-1}$

— HartnäckigAtom
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Diese Antwort gefällt mir besser.

— Hyg17