OLS in Bezug auf Mittelwerte und Stichprobengröße

Gegeben ein Modell:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Wobei Dummy = 1 ist, wenn weiblich, und 0 andernfalls, ist y Höhe in cm. Die Stichprobengröße beträgt insgesamt n_ {weiblich} = n_ {männlich} = 100 \ rightarrow 200 . Weiter \ bar {y} _ {männlich} = 175 und \ bar {y} _ {weiblich} = 165 . Berechnen Sie die Schätzungen der Parameter.$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Mein Versuch:

Verwenden Sie die bekannte Formel:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ Ich erhalte: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Zuerst die Elemente in $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , da $X$ nur ein Haufen von einem ist, enthält die Stichprobe 100 Frauen und insgesamt 200 Männer und Frauen. Für $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ ist das erste Element der "große Mittelwert" von 170, und das zweite ist nur der Stichprobenmittelwert der Körpergröße für Frauen. Beide sind um 200 skaliert, da ich nicht "verkleinert" habe $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Ist das richtig? Ich frage, weil die Lösung (beim Multiplizieren) zu einigen (sehr) ungeraden Zahlen führt.

Der Ansatz ist korrekt, aber es gibt einen kleinen numerischen Fehler: Es gibt nur Frauen, nicht . Die mittleren Höhen für Männer und Frauen können über in Summen umgerechnet werden$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

und

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Daher ist die Summe aller Höhen

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

wie in der Frage angegeben. Folglich sind die Normalgleichungen

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( nicht auf der rechten Seite), mit Lösung$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Ich bin ziemlich verwirrt. Was bedeutet bedeuten? Sind das Residuen? Wenn ja, dann$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

schon seit

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Einige Gedanken:

In Anbetracht Ihrer Gleichung sollte IMHO 175 und = -10 sein. Für den männlichen und weiblichen Teil erhalten Sie also:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Da kannst du verwenden

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

mit der Moore-Penrose Pseudoinverse nach suchen .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Jetzt enthält :$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

Ich hoffe es hilft!