Schätzer für eine Binomialverteilung

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Wie definieren wir einen Schätzer für Daten, die aus einer Binomialverteilung stammen? Für Bernoulli kann ich mir vorstellen, dass ein Schätzer einen Parameter p schätzt, aber für Binomial kann ich nicht sehen, welche Parameter zu schätzen sind, wenn wir n haben, um die Verteilung zu charakterisieren?

Aktualisieren:

Mit einem Schätzer meine ich eine Funktion der beobachteten Daten. Ein Schätzer wird verwendet, um die Parameter der Verteilung zu schätzen, die die Daten erzeugt.

estimation binomial

— Rohit Banga
quelle

Was verstehen Sie unter einem "Schätzer"? Ich wundere mich darüber, weil Schätzer keine "Parameter" haben. Es macht mir Sorgen, dass Sie Ihre Frage nicht klar kommunizieren. Vielleicht könnten Sie ein konkretes Beispiel für eine tatsächliche Situation geben, über die Sie nachdenken.

— Whuber

@whuber hat weitere Informationen hinzugefügt. Lassen Sie mich wissen, ob ich weitere Details hinzufügen soll oder ob mein Verständnis fehlerhaft ist.

— Rohit Banga

Die Bearbeitung ist korrekt, aber ein konkretes Beispiel würde trotzdem helfen. In vielen Anwendungen der Binomialverteilung ist

kein Parameter: Es ist gegeben und

ist der einzige zu schätzende Parameter. Beispielsweise hat die Anzahl

der Erfolge in

unabhängigen, identisch verteilten Bernoulli-Versuchen eine Binomialverteilung (

,

) und ein Schätzer des einzigen Parameters

ist

.

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

Ich würde gerne ein Beispiel sehen, auch ein erfundenes, um sowohl

als auch

(in einer frequentistischen Umgebung) zu schätzen . Denken Sie darüber nach: Sie beobachten eine einzelne Zählung, k , sagen

. Wir erwarten, dass

ungefähr gleich

. Schätzen wir also

,

? Oder vielleicht

,

? Oder fast alles andere? :-) Oder schlagen Sie eine Reihe unabhängiger Beobachtungen vor

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

alle aus einer gemeinsamen Binomialverteilung

mit sowohl

als auch

unbekannt?

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$

— whuber

1

Ich schlage das letztere vor - sowohl p als auch n sind unbekannt. Ich möchte einen Schätzer für n und p als Funktion von N beobachteten Datenpunkten.

— Rohit Banga

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Ich vermute, was Sie suchen, ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Eine Ableitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung finden Sie unter

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Ein Blick auf Wikipedia ist heutzutage jedoch immer eine gute Idee, obwohl ich sagen muss, dass die Spezifikation des Binomials verbessert werden könnte.

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
quelle

1

Jede Distribution hat unbekannte Parameter. Beispielsweise hat in der Bernoulli-Verteilung ein unbekannter Parameter die Erfolgswahrscheinlichkeit (p). Ebenso hat in der Binomialverteilung zwei unbekannte Parameter n und p. Es hängt von Ihrem Ziel ab, welchen unbekannten Parameter Sie schätzen möchten. Sie können einen Parameter festlegen und einen anderen schätzen. Weitere Informationen finden Sie hier

— Liebesstatistiken
quelle

Was ist, wenn ich beide Parameter schätzen möchte?

— Rohit Banga

1

Für die Maximum-Likelihood-Schätzung müssen Sie eine Ableitung der Likelihood-Funktion in Bezug auf interessierende Parameter vornehmen und diese Gleichung mit Null gleichsetzen und die Gleichung lösen. Ich will damit sagen, dass die Prozedur dieselbe ist wie bei der Schätzung von 'p'. Sie müssen dasselbe mit 'n' machen. check this one www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— Liebesstatistik

@love Deine Referenz schätzt nur

, wobei

als fest angenommen wird.

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1 @ love-stats Ein Beispiel für eine Situation, in der die Ableitung der Wahrscheinlichkeitsfunktion, deren Gleichsetzung mit

usw. nicht funktioniert , finden Sie in diesem Versuch und der richtigen Lösung

0

$0$

— Dilip Sarwate,

1

Angenommen , Sie haben Daten . $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

Man könnte leicht derive Methode-of-Moment Schätzer durch Einstellung und und die Lösung für und . $\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

Oder Sie könnten MLEs berechnen (vielleicht nur numerisch), z. B. mit optimin R.

— Karl
quelle

Es stellt sich heraus die MLE für wirklich schrecklich sind

--sie vorgespannt sind und äußerst variabel, auch bei großen Proben. Ich habe die MM-Schätzer nicht untersucht, zum Teil, weil sie häufig nicht einmal definiert sind (wann immer

, was passiert).

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

— whuber

@whuber - er hat nicht nach einem guten Schätzer gefragt . ;)

— Karl

1

Warum nicht einfach vorschlagen ,

= 17 und

nicht , was Materie, dann? :-) Aber Sie haben einen Punkt: Die Frage gibt nicht einmal an, was geschätzt werden soll. Wenn wir nur einen Schätzer für benötigen

, dann ist es offensichtlich , dass die gut verfügbar.

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

— whuber

@whuber - In der Tat. Und ich würde nicht überrascht sein , finden

für die MLE.

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

— Karl

Das ist richtig: Besonders wenn

nahe bei

, ist das Maximum der Zählwerte der MLE. Es funktioniert in solchen Fällen ziemlich gut, wie Sie sich vorstellen können. Für kleineres

ist es selbst bei vielen Daten schwierig, dies von einer Poisson-Verteilung zu unterscheiden, für die

praktisch unendlich ist, was zu einer enormen Unsicherheit bei der Schätzung von

.

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

— whuber

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Ich denke, wir könnten die Methode der Momentschätzung verwenden, um die Parameter der Binomialverteilung durch den Mittelwert und die Varianz abzuschätzen.

Verwenden der Methode der Momentschätzung zur Schätzung der Parameter $p$ und $m$ . [{\ hat {p}} _ n = \ frac {\ overline {X} -S ^ 2} {\ overline {X}}] [\ hat {m} _n = \ frac {\ overline {X} ^ 2} {\ overline {X} -S ^ 2}] Beweis Die Schätzer der Parameter $m$ und $p$ nach der Methode der Momente sind die Lösungen des Gleichungssystems

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$ Daher lauten unsere Gleichungen für die Methode der Momente: [\ overline {X} = mp] [S ^ 2 = mp (1-p).]

Einfache arithmetische Darstellungen: [S ^ 2 = mp \ left (1 - p \ right) = \ bar {X} \ left (1 - p \ right)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {daher} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] Dann [\ bar {X} = mp, \ mbox {das heißt} m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right)] [\ bar {X} = m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right), \ mbox {oder} \ hat {m} = \ frac {\ Balken {X} ^ 2} {\ Balken {X} -S ^ 2}. ]

— salma
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Es wäre gut, wenn Sie dies erweitern könnten, indem Sie beispielsweise die Formel für den MoM-Schätzer schreiben. Ansonsten ist die Antwort nicht in sich geschlossen. Andere (die die Antwort noch nicht kennen) müssen online nach "Methode der Momente" usw. suchen, bis sie die richtige Antwort finden.

— Bogenschütze