Maximum Likelihood Estimator für negative Binomialverteilung

Die Frage ist folgende:

Eine Zufallsstichprobe von n Werten wird aus einer negativen Binomialverteilung mit dem Parameter k = 3 gesammelt.

1. Finden Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer des Parameters π.
2. Finden Sie eine asymptotische Formel für den Standardfehler dieses Schätzers.
3. Erklären Sie, warum die negative Binomialverteilung ungefähr normal ist, wenn der Parameter k groß genug ist. Was sind die Parameter dieser normalen Näherung?

Meine Arbeit war wie folgt:
1. Ich habe das Gefühl, dass dies erwünscht ist, bin mir aber nicht sicher, ob ich hier korrekt bin oder ob ich dies angesichts der bereitgestellten Informationen möglicherweise weiterführen kann?

2. Ich denke, das Folgende ist gefragt. Für den letzten Teil habe ich das Gefühl, dass ich $\hat{\pi}$ durch \ dfrac {k} {x} \ ell`` (\ hat {\ pi}) = - \ dfrac {k} {\ hat {\ ersetzen muss $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. Ich bin mir nicht sicher, wie ich das beweisen soll und erforsche es noch. Alle Hinweise oder nützliche Links wäre sehr dankbar. Ich denke, es hängt entweder damit zusammen, dass eine negative Binomialverteilung als Sammlung geometrischer Verteilungen oder als Umkehrung einer Binomialverteilung angesehen werden kann, aber nicht sicher ist, wie man sich ihr nähert.

Jede Hilfe wäre sehr dankbar

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

Setzen Sie dies auf Null,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2.

Für den zweiten Teil müssen Sie den Satz verwenden, dass , ist die Fischerinformation hier. Daher wird die Standardabweichung der werden . Oder Sie nennen es als Standardfehler, da Sie hier CLT verwenden.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

Wir müssen also die Fisher-Informationen für die negative Binomialverteilung berechnen.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

Anmerkung: für das negative Binom pmf$E(x) =\frac{k}{\pi}$

Daher ist der Standardfehler für ist$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

Vereinfachen Sie, wir erhalten$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3.

Die geometrische Verteilung ist ein Sonderfall der negativen Binomialverteilung, wenn k = 1. Hinweis ist eine geometrische Verteilung$\pi(1-\pi)^{x-1}$

Daher kann eine negative Binomialvariable als Summe von k unabhängigen, identisch verteilten (geometrischen) Zufallsvariablen geschrieben werden.

Nach CLT ist die negative Binomialverteilung also ungefähr normal, wenn der Parameter k groß genug ist