Summe der quadratischen Poisson-Wahrscheinlichkeitsmassen

Es sei die Wahrscheinlichkeitsmassen einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter . Ich suche die Summe ihrer Quadrate, als Funktion von . Mit anderen Worten, ich interessiere mich für (das Exponential von) der Renyi-Entropie zweiter Ordnung einer Poisson-Verteilung. $(p_k)_{k=0, \dots, \infty}$ $\lambda$

\sum_{k = 0}^{\infty} p_{k}^{2},

$\sum_{k=0}^\infty p_k^2,$

λ

$\lambda$

Hintergrund:

Ich möchte dies verwenden, um Brier- und sphärische Scores zu bewerten .
Czado et al. (2009) schreiben, dass dieser Ausdruck analytisch ausgewertet werden kann, aber keine weiteren Informationen liefert, und ich stecke irgendwie fest.
Nein, das sind keine Hausaufgaben, obwohl ich mir das vorstellen könnte ;-) Hinweise oder Hinweise auf die Literatur wären fast so willkommen wie eine vollständige Lösung.
Hier ist die analoge Frage für die negative Binomialverteilung.

poisson-distribution entropy

— Stephan Kolassa
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Diese Frage erscheint in vielen Formen. Antworten können durch eine Suche nach Skellam gefunden werden .

— whuber

Zögern Sie nicht, WolframAlpha zu verwenden, um die Summe einer Serie zu erhalten. Oder brauchen Sie einen mathematischen Beweis?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies ergibt . Der Link zur Dokumentation der Bessel-Funktion ist dieser . $\exp(-2\lambda)I_0(2\lambda)$ $I_0$

Eigentlich würde der Beweis hier nur die von bedeuten . $I_0$

Wenn Sie diese Bessel-Funktion mit R auswerten möchten, können Sie dies mit Hilfe des gslPakets tun :

> library(gsl)
> lambda <- 1
> exp(-2*lambda)*bessel_I0(2*lambda)
[1] 0.3085083
> sum(dpois(0:100, lambda)^2)
[1] 0.3085083

— Stéphane Laurent
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Danke, das ist sehr hilfreich. Was wäre der Vorteil der Verwendung gsl::bessel_I0()anstatt base::besselI(nu=0)?

— Stephan Kolassa

@StephanKolassa Ich wusste es nicht base::besselI. Ich weiß nicht, ob einer besser ist als der andere.

— Stéphane Laurent