Lindeberg CLT für exponentielle unabhängige Variablen

Crossposted in math.stackexchange: CLT für unabhängige, aber nicht identisch verteilte Exponentialvariablen

Dieses Problem ist das Selbststudium für meine Eignungsprüfung.

Problem

Annehmen $(e_n)_{n\ge 1}$ sind unabhängige exponentiell verteilte Zufallsvariablen mit $E(e_n)=\mu_n$ . Wenn

max_{i \leq n} \frac{μ_{i}}{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}} \to 0

$\max_{i\le n}\frac{\mu_i}{\sum^n_{j=1}\mu_j}\to 0$

dann

\sum_{i = 1}^{n} (e_{i} - μ_{i}) / \sqrt{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}^{2}} ⟹ N (0, 1) .

$\sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\implies N(0,1).$

Ich habe versucht, eine Lösung unter Verwendung der Liapunov-Bedingung zu finden, stecke aber beim letzten Schritt meiner Rechtfertigung irgendwie fest.

In dem obigen Link hat ein anderer Benutzer versucht, eine Antwort unter Verwendung der Lindeberg-Bedingung zu verwenden, aber irgendwie stimmen die im Problem angegebenen Bedingungen nicht mit den Annahmen der Lösung überein.

Hat jemand irgendwelche Hinweise, wie man vorgeht?

Vielen Dank!

distributions central-limit-theorem

— stats134711
quelle

Um anderen Community-Mitgliedern beim Abwägen zu helfen, kann es hilfreich sein, einen Teil des Ansatzes aufzuschreiben. Haben Sie zum Beispiel den dritten und vierten Moment für eine einzelne Exponential

μ

$\mu$ Variable sowie für deren Summe erhalten?

— AdamO

@AdamO habe ich nicht. Wäre das hilfreich, da die Bedingungen von Liapunov und Lindeberg nur bis zum zweiten Moment reichen?

— stats134711

Lindebergs Bedingung impliziert, dass gegen konvergiert da gegen unendlich geht, was unter den Annahmen nicht unbedingt erfüllt ist (zum Beispiel wenn ).

max_{1 ⩽ j ⩽ n} λ_{j}^{2} \cdot {(\sum_{l = 1}^{n} λ_{l}^{2})}^{- 1 / 2}

$\max_{1\leqslant j\leqslant n}\lambda_j^2\cdot\left(\sum_{l=1}^n\lambda_l^2 \right)^{-1/2}$

0

$0$

n

$n$

λ_{j} = 1 / j

$\lambda_j=1/j$

— Davide Giraudo

(natürlich sollte )

λ_{j}

$\lambda_j$

μ_{j}

$\mu_j$

— Davide Giraudo

@AdamO Leider sind weder die Lindeberg- noch die Liapounov-Bedingungen durch die Annahmen dieses Problems impliziert. Dies deutet darauf hin, dass die Aussage möglicherweise falsch ist und einen dazu inspirieren würde, nach Gegenbeispielen zu suchen. Solche Gegenbeispiele müssen die Lindeberg-Bedingungen verletzen (indem sie gelegentlich ein , das relativ zur Summe der Quadrate aller vorherigen groß ist, für das jedoch im Vergleich zur Summe aller vorherigen klein ist).

μ_{n}^{2}

$\mu_n^2$

μ_{n}

$\mu_n$

— whuber

Wenn (was die Annahmen des Buches erfüllt), scheint die Sequenz konvergiert gegen eine Konstante plus eine Gumbel-Verteilung (siehe Unterabschnitt 5.3 in Eine einheitliche asymptotische Erweiterung für gewichtete Exponentialsummen von JSH van Leeuwaarden und NM Temme. $\mu_j=1/j$ $\left(\sum^n_{i=1}(e_i-\mu_i)/\sqrt{\sum^n_{j=1}\mu_j^2}\right)_{n\geqslant 1}$

Daher ist die Bedingung scheint der Gute zu sein. Sie kann entweder durch die im Link der Frage beschriebene Methode oder allgemeiner abgeleitet werden (insbesondere müssen wir nicht davon ausgehen, dass die Zufallsvariablen eine Exponentialverteilung haben, sondern nur eine endliche Varianz). In beiden Fällen wird der zentrale Grenzwertsatz von Lindeberg verwendet.

\begin{matrix} (C) & lim_{n \to \infty} max_{1 ⩽ i ⩽ n} \frac{μ_{i}^{2}}{\sum_{j = 1}^{n} μ_{j}^{2}} = 0 \end{matrix}

$\tag{C} \lim_{n\to \infty}\max_{1\leqslant i\leqslant n}\frac{\mu_i^ 2}{\sum_{j=1}^n \mu_j^2 } =0$

Im Allgemeinen, wenn wir einen zentralen Grenzwertsatz für beweisen wollen , wobei sind unabhängig und zentriert, und können wir Lindebergs Bedingung verwenden, nämlich Dies impliziert, dass . In unserem Fall entspricht dies der Bedingung (C). $s_n^{-1}\sum_{j=1}^nX_{n,j}$ $(X_{n,j})_{j=1}^n$ $s_n^2=\sum_{j=1}^n\operatorname{Var}(X_{n,j})$

\forall ε > 0, lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{j = 1}^{n} E [X_{n, j}^{2} 1 {| X_{n, j} | > ε s_{n}}] = 0.

$\forall \varepsilon\gt 0, \quad \lim_{n\to \infty} \frac 1{s_n^2}\sum_{j=1}^n\mathbb E\left[X_{n,j}^2\mathbf 1\{|X_{n,j}|\gt \varepsilon s_n \} \right] =0.$

s_{n}^{- 1} max_{1 ⩽ j ⩽ n} Var (X_{n, j}) \to 0

$s_n^{-1}\max_{1\leqslant j\leqslant n}\operatorname{Var}(X_{n,j})\to 0$

— Davide Giraudo
quelle

Giraudo (+1) Starkes Argument, hat meine Verwirrungen beseitigt.

— Zhanxiong