Wann konvergieren die Annäherungen der Taylor-Reihen an die Erwartungen (ganzer) Funktionen?

Nehmen Sie eine Erwartung der Form für eine univariate Zufallsvariable und eine gesamte Funktion (dh das Konvergenzintervall ist die gesamte reelle Linie). $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

Ich habe eine Momenterzeugungsfunktion für und kann daher leicht ganzzahlige Momente berechnen. Verwenden Sie eine Taylor-Reihe um und wenden Sie dann die Erwartung in Form einer Reihe zentraler Momente an: diese Reihe ab, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Meine Frage ist: Unter welchen Bedingungen für die Zufallsvariable (und für alle zusätzlichen Bedingungen für $f(\cdot)$ ) konvergiert die Annäherung der Erwartung, wenn ich Terme hinzufüge (dh $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Gibt es andere Tricks, um ungefähre Erwartungen mit ganzzahligen Momenten zu finden, wenn diese Bedingungen fehlschlagen, da sie für meinen Fall nicht konvergieren (eine Poisson-Zufallsvariable und $f(x) = x^{\alpha}$ )?

expected-value approximation

— jlperla
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siehe hier: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@ Jonathan Danke. Sehen Sie meine Änderungen jetzt, da es klarer geworden ist. Sehr hilfreich, obwohl ich es nicht ganz knacken konnte. Daraus ergibt sich, dass eine ausreichende Bedingung dafür ist, dass meine Zufallsvariable stark konzentriert ist. Obwohl ich Probleme habe, genau zu knacken, wie man Hoeffdings Ungleichung usw. verwendet, um sie mit diesen Notizen zu vergleichen.

— Jlperla

Was meinst du mit "einer Poisson-Zufallsvariablen und "? Ist das ein oder zwei Fälle und was ist das PDF?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl Dies ist ein paar Jahre zurück, aber wenn ich mich erinnere, war die Variable für einige mit PDF von en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Dieses war die Funktion, die ich übernahm. dh

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

Nicht sicher, was Sie fragen. Wie wäre es damit, dass die höheren Momente der Poisson-Verteilung über den Ursprung Touchard-Polynome in : wobei die {Klammern} Stirling-Zahlen der zweiten Art bezeichnen?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

Antworten:

Unter Ihrer Annahme, dass ist, ist Konvergiert fast sicher (tatsächlich sicher) zu . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Eine Standardbedingung, unter der Konvergenz Konvergenz der Erwartung impliziert, dh ist dass wie für einige so dass . (Dominierter Konvergenzsatz.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Diese Bedingung würde gelten, wenn die Potenzreihe absolut konvergiert, dh und

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Ihr Beispiel einer Poisson-Zufallsvariablen und , würde darauf , dass die obige Integrierbarkeit des absoluten Grenzkriteriums im Allgemeinen die schwächste ist. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— Michael
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-1

Die Näherung konvergiert, wenn die Funktion f (x) eine Potenzreihenexpansion zulässt, dh alle Ableitungen existieren. Es wird auch vollständig erreicht, wenn Ableitungen eines bestimmten Schwellenwerts und darüber gleich Null sind. Sie können sich auf Populis [3-4] und Stark and Woods [4] beziehen.

— E. Mehrban
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"Es wird auch voll erreicht, wenn Ableitungen eines bestimmten Schwellenwerts und darüber gleich Null sind." Wenn die Ableitungen existieren und gleich Null sind, ist das nicht eine andere Art, Polynom zu sagen?

— Akkumulation

Das ist nicht wahr. Wenn zum Zeitpunkt der Potenzreihenerweiterung "alle Ableitungen existieren", müssen die Potenzreihen nirgendwo konvergieren . (Das Standardbeispiel ist die Maclaurin-Reihe von ) Ein weiteres Beispiel ist, dass die Reihe, selbst wenn sie irgendwann konvergiert, nicht überall konvergieren muss. Ein einfaches Beispiel ist die Maclaurin-Reihe vonIn diesem Fall hängt die Konvergenz von den Details der Zufallsvariablen ab. Nehmen wir zum Beispiel an, hat eine beliebige Student t-Verteilung und betrachtenSchließlich existiert nicht einmal!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber