Identifizierbarkeit eines Zustandsraummodells (Dynamic Linear Model)

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Nehmen Sie ein allgemeines lineares Gaußsches Zustandsraummodell (SSM) (auch bekannt als dynamisches lineares Modell DLM):

\begin{aligned} X_{t + 1} & = F X_{t} + V_{t} \\ Y & = H X_{t} + W_{t} \\ V_{t} & \sim N (0, Q) \\ W_{t} & \sim N (0, R) \end{aligned}

$\begin{align} X_{t+1} &= FX_t + V_t \\ Y &= HX_t+W_t \\[10pt] V_t &\sim N(0,Q) \\ W_t &\sim N(0,R) \\ \end{align}$

Ich interessiere mich für die Unidentifizierbarkeitsprobleme im Zusammenhang mit diesen Modellen:

Hamilton (1994) stellt fest, dass „ohne Einschränkungen für F, H, Q und R die Parameter der Zustandsraumdarstellung nicht identifiziert werden - mehr als ein Satz von Werten für die Parameter kann zu dem identischen Wert von führen Wahrscheinlichkeitsfunktion, und die Daten geben uns keinen Anhaltspunkt für die Auswahl unter diesen “

Jetzt ist mir klar, dass diese Darstellung nicht als Multiplikation mit einer orthonormalen Matrix eindeutig ist $M$ erzeugt eine neue Darstellung:

\begin{aligned} M X_{t + 1} & = M F M^{- 1} M X_{t} + M V_{t} \\ Y & = H M^{- 1} M X_{t} + W_{t} \end{aligned}

$\begin{align} MX_{t+1} &= MFM^{-1}M X_t + MV_t \\ Y &= HM^{-1}MX_t+W_t \end{align}$

Diese Art der Nichtidentifizierbarkeit, bei der die beobachteten Werte durch verschiedene orthonormale Transformationen der Zustandsvariablen erzeugt werden können, ist Zustandsraummodellen inhärent.

Ich bin jedoch auch auf eine andere Art der Nichtidentifizierbarkeit gestoßen, die mit der Schätzmethode in Zusammenhang zu stehen scheint. In diesem Fall "Kalman Filtering". Siehe das einfache Beispiel ab Seite 8 dieses PDFs .

In diesem Fall gibt es eine lineare Transformation der Beobachtungsgleichung und eine Gegentransformation zur Varianz der Zustandsgleichung

Führen beide oben genannten Transformationen zu denselben von Hamilton beschriebenen Identifizierbarkeitsproblemen (ich glaube, sie tun dies, wollen es aber überprüfen)?
Gibt es andere Möglichkeiten, wie sich Identifizierbarkeitsprobleme in linearen Gaußschen SSMs manifestieren können?
Ist der Fix immer die gleichen Suchbeschränkungen oder analog (Bayes'sche Prioritäten), die sicherstellen, dass die endgültigen Parameter korrekt sind?

Schließlich deutet dieser Link in Matlab darauf hin, dass es möglich ist, ein "identifizierbares SSM" zu erstellen. Leider erklärt der Link die Theorie nicht. Somit:

Ist es möglich, jedes lineare Gaußsche SSM in eine "identifizierbare Form" zu übersetzen? Kann jemand bitte eine Linkreferenz angeben, die erklärt, wie dies funktioniert. Es scheint auf den ersten Blick rot zu werden, dass unabhängig von der anfänglich verwendeten Darstellung immer noch die oben gezeigten Probleme auftreten würden.

— Baz
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Ab Seite 8 gibt es kein verwandtes Beispiel - handelt es sich um das Beispiel auf Seite 40? Der Zustand dort ist skalar, also ist es nur ein Sonderfall des "

M

$M$ Transformation "in OP erwähnt (da für Skalare

M F, M^{- 1} = F

$M\,F,M^{-1} = F$ , nur die Varianz ändert sich in der Zustandsentwicklung). (Unklar, ob dies die Antwort auf Q1 ist, da unklar ist, ob dies diejenige ist, auf die Bezug genommen wird).

— Juho Kokkala

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Nach meinem Verständnis müssen Sie die Parameter einschränken, z. B. auf eine Konstante setzen, um die Identifizierung sicherzustellen. Es gibt keine Möglichkeit, ein nicht identifiziertes Modell unter Beibehaltung aller Parameter in ein identifiziertes Modell umzuschreiben.

Es gibt jedoch einen Algorithmus, um zu überprüfen, ob ein SS-Modell identifiziert wurde. Versuchen Sie, den Artikel nachzuschlagen:

J. Casals, A. Garcia-Hiernaux und M. Jerez, Vom allgemeinen Zustandsraum zu VARMAX-Modellen , Mathematik und Computern in der Simulation

In diesem Artikel geben sie ein Kochbuch, um die Identifizierung zu überprüfen, aber ein Schritt bleibt ungeklärt, es ist der sogenannte "Treppenhausalgorithmus" aus dem Buch,

SH Rosenbrock, Staatsraum und multivariable Theorie , John Wiley, New York, 1970,

was ich nie Glück hatte zu finden.

— Duffau
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Hallo, hier gibt es einen verwandten Algorithmus zum Rosebrock-Algorithmus: la.epfl.ch/files/content/sites/la/files/users/105941/public/…

— Baz

Der Vorschlag, Parameter einzuschränken, um die Identifizierbarkeit zu gewährleisten, liegt auf der Hand. Ist jemandem vielleicht ein konkretes Beispiel für eine Reihe von Einschränkungen bekannt, die dies für das im ursprünglichen Beitrag beschriebene lineare dynamische System garantieren würden?

— Ngiann

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Es ist nicht wahr, dass Gaußsche Zustandsraummodelle (GSSM) nicht identifizierbar sind. Erstens ist die Schlussfolgerung zu GSSM von Natur aus Bayesianisch. Es kann gezeigt werden, dass Kalman-Filterrezidive mit den Gleichungen identisch sind, die zum Aktualisieren des vorherigen Mittelwerts und der Kovarianzen unter einer Bayes'schen Perspektive verwendet werden. Zweitens ist eine ausreichende Bedingung für die Identifizierung eines GSSM, dass seine Beobachtbarkeitsmatrix den vollen Rang hat. Schauen Sie sich Kapitel 5, Seite 143 des Buches von West und Harrison an .

— Anselmo
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Wussten Sie, dass es bei der Frage um die (Nicht-) Identifizierbarkeit der Parameter geht?

F, H, Q, R

$F,~H,~Q,~R$ ? Können Sie klarstellen, in welchem Sinne das GSSM identifiziert wird, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix den vollen Rang hat? (Ich habe das Buch nicht und die Antworten sollten sowieso selbsttragend sein)

— Juho Kokkala

Ok, überprüfte Seiten 143-144 aus Springers Vorschau, sehe keinen Zusammenhang mit der Identifizierbarkeit von Parametern

— Juho Kokkala

Tatsächlich meinte ich die Identifizierbarkeit von Staaten, was der Fall ist, an dem man allgemein interessiert ist. Die Matrizen F und H werden im Allgemeinen nicht vollständig geschätzt. In den meisten Fällen ist es möglich, sie als Funktionen eines kleineren Satzes identifizierbarer Parameter zu definieren. Dasselbe gilt für die Kovarianzen Q und R. Wie auch immer, unter Bayes'scher Perspektive ist die Identifizierbarkeit kein Problem, die Frage ist, ob die posterioren Verteilungen richtig sind oder nicht. Denken Sie daran, dass die maximale Wahrscheinlichkeit nur eine Bayes'sche Folgerung mit einheitlichen Prioritäten ist.

— Anselmo