Varianz des Produkts abhängiger Variablen

Wie lautet die Formel für die Varianz des Produkts abhängiger Variablen?

Bei unabhängigen Variablen ist die Formel einfach:

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ Aber wie lautet die Formel für korrelierte Variablen?

Wie finde ich übrigens die Korrelation anhand der statistischen Daten?

Nun, mit der vertrauten Identität, auf die Sie hingewiesen haben,

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

Unter Verwendung der analogen Formel für die Kovarianz,

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

und

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

was bedeutet , dass im Allgemeinen, geschrieben werden kann als${\rm var}(XY)$

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

Es ist zu beachten, dass im Unabhängigkeitsfall und sich dies auf verringert${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

und die zwei Terme löschen sich aus und Sie erhalten$[ E(X)E(Y) ]^{2}$

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

wie Sie oben ausgeführt haben.

Bearbeiten: Wenn Sie nur und nicht X und Y getrennt beobachten, gibt es meiner Meinung nach keine Möglichkeit, c o v ( X , Y ) oder c o v ( X 2 , Y 2 ) außer zu schätzen in besonderen Fällen (zB wenn X , Y a priori bekannte Mittel haben )$XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

Dies ist ein Nachtrag zu @ Macros sehr netter Antwort, die genau beschreibt, was bekannt sein muss, um die Varianz des Produkts zweier korrelierter Zufallsvariablen zu bestimmen. Seit

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ where $\operatorname{cov}(X,Y)$, $E[X]$, $E[Y]$, $E[X^2]$, and $E[Y^2]$ can be assumed to be known quantities, we need to be able to determine the value of $E\left[X^2Y^2\right]$ in $(2)$ or $\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ in $(3)$. This is not easy to do in general, but, as pointed out already, if $X$ and $Y$ are independent random variables, then $\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$$E\left[X^2Y^2\right]$ or $\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ even though it does simplify the right sides of $(2)$ and $(3)$ a little.

When $X$ and $Y$ are dependent random variables, then in at least one (fairly common or fairly important) special case, it is possible to find the value of $E\left[X^2Y^2\right]$ relatively easily.

Suppose that $X$ and $Y$ are jointly normal random variables with correlation coefficient $\rho$. Then, conditioned on $X = x$, the conditional density of $Y$ is a normal density with mean $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ and variance $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$. Thus,

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ which is a quartic function of $X$, say $g(X)$, and the Law of Iterated Expectation tells us that $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ where the right side of $(4)$ can be computed from knowledge of the 3rd and 4th moments of $X$ -- standard results that can be found in many texts and reference books (meaning that I am too lazy to look them up and include them in this answer).

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Further addendum: In a now-deleted answer, @Hydrologist gives the variance of $XY$ as

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ and claims that this formula is from two papers published a half-century ago in JASA. This formula is an incorrect transcription of the results in the paper(s) cited by Hydrologist. Specifically, $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ is a mistranscription of $E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ in the journal article, and similarly for $\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ and $\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$.