Warum ändert sich die Varianz einer Stichprobe, wenn die Beobachtungen dupliziert werden?

Die Varianz soll ein Maß für die Streuung sein. Also hatte ich gedacht, dass die Varianz von 3,5gleich der Varianz von ist, 3,3,5,5da die Zahlen gleich verteilt sind. Dies ist jedoch nicht der Fall, die Varianz von 3,5ist, 2während die Varianz von 3,3,5,5ist 1 1/3.

Dies verwundert mich angesichts der Erklärung, dass Varianz ein Maß für die Ausbreitung sein soll.

Was bedeutet in diesem Zusammenhang das Ausbreitungsmaß ?

Wenn Sie die Varianz als $s^2_{n}=$$\,\text{MSE}\,$$=\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$- ähnlich der Populationsvarianz, aber mit dem Stichprobenmittelwert für$\mu$, dann hätten beide Stichproben dieselbe Varianz.

Der Unterschied beruht also nur auf der Besselschen Korrektur in der üblichen Formel für die Stichprobenvarianz ( $s^2_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot \text{MSE}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$, wobei die Tatsache berücksichtigt wird, dass derStichprobenmittelwertnäher an den Daten liegt als der Populationsmittelwert, um ihn unvoreingenommen zu machen (den richtigen Wert anzunehmen) durchschnittlich").

$\frac{n-1}{n}$$n\to\infty$

$s^2_n$

Varianz selbst ist kein direktes Maß für die Ausbreitung. Wenn ich alle Werte in meinem Datensatz verdopple, behaupte ich, dass sie doppelt so "verteilt" sind. Die Varianz nimmt jedoch um den Faktor 4 zu. Üblicherweise wird gesagt, dass die Standardabweichung und nicht die Varianz ein Maß für die Streuung ist.

$s_{n-1}$

Bei kleinen Stichproben macht die Bessel-Korrektur die Standardabweichung als Maß für die Streuung aufgrund dieses Effekts etwas weniger intuitiv (das Duplizieren der Stichprobe ändert den Wert). Viele Ausbreitungsmaße behalten jedoch den gleichen Wert bei, wenn die Probe dupliziert wird. Ich werde ein paar erwähnen -

• $s_n$

• die mittlere (absolute) Abweichung vom Mittelwert

• die mediane (absolute) Abweichung vom Median

• den Interquartilbereich (zumindest für einige Definitionen von Stichprobenquartilen)

$V\,X = E\,V\,X + V\,E\,X$

Die übliche Stichprobenvarianzformel gleicht dies aus, und die Varianz des Mittelwerts der Stichprobe skaliert umgekehrt mit der Stichprobengröße.

Als extremes Beispiel zeigt die Entnahme einer einzelnen Stichprobe immer eine Stichprobenvarianz von 0, offensichtlich keine Varianz von 0 für die zugrunde liegende Verteilung.

$2/1$$4/3$$2/3$$1$$4$