Was ist das Äquivalent für cdfs von MCMC für pdfs?

In Verbindung mit einer Kreuzvalidierten Frage zur Simulation aus einer bestimmten Kopula, dh einem multivariaten cdf definiert auf$C(u_1,\ldots,u_k)$$[0,1]^k$ , begann ich mich über das größere Bild zu wundern, nämlich wie, Kann man bei einer solchen Funktion einen generischen Algorithmus aus der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilung simulieren?

Offensichtlich besteht eine Lösung darin, $C$ $k$ mal zu differenzieren , um das entsprechende PDF zu erzeugen, $\kappa(u_1,\ldots,u_k)$und dann einen generischen MCMC-Algorithmus wie Metropolis-Hastings aufzurufen, um eine Probe aus $C$ (oder $\kappa$ ) zu erzeugen .

Nebenbei: Eine andere Lösung besteht darin, sich an archimedische Copulas zu halten und die Laplace-Stieljes-Transformation für die Simulation zu verwenden. Dies ist jedoch in der Praxis nicht immer möglich. Wie ich beim Versuch gefunden habe, die oben genannte Frage zu lösen .

Meine Frage ist, diesen Differenzierungsschritt möglichst generisch zu vermeiden.

Dies ist ein Versuch, den ich nicht vollständig durchgearbeitet habe, aber zu lang für den Kommentarbereich. Es könnte nützlich sein, es hier als eine weitere grundlegende Alternative für sehr niedrige . Es erfordert keine explizite Differenzierung + MCMC (führt jedoch eine numerische Differenzierung ohne MCMC durch).$k$

Algorithmus

Für kleine :$\varepsilon > 0$

1. Zeichne . Dies kann leicht durch Zeichnen von η ∼ Uniform [ 0 , 1 ] und Berechnen von C - 1 1 ( η ) erfolgen (was, wenn überhaupt, leicht numerisch erfolgen kann). Dies ist eine Auslosung aus dem Rand-PDF u 1 ∼ κ $u_1 \sim C_1 \equiv C(U_1 = u_1,U_2 = 1,\ldots, U_k = 1)$$\eta \sim \text{Uniform}[0,1]$$C_1^{-1}(\eta)$ .$u_1 \sim \kappa(u_1)$
2. Für $j = 2\ldots k$
   • Definiere die als eine Differenz der berechnet werden kannCan verschiedenen Punkten bewertet (die in der naiven Weise brauchtO(2J-1)Evaluationen vonCfür jede Bewertung vonD ( ε ) j ). D ( ε ) j ist das $$D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1}) \equiv \Pr\left( u_1 - \frac{\varepsilon}{2} \le U_1 \le u_1 + \frac{\varepsilon}{2} \land \dots \land u_{j-1} - \frac{\varepsilon}{2} \le U_{j-1} \le u_{j-1} + \frac{\varepsilon}{2} \land U_{j} \le u_j \land U_{j+1} \le 1 \dots \land U_{k} \le 1\right),$$ $C$$O(2^{j-1})$$C$$D_j^{(\varepsilon)}$$D_j^{(\varepsilon)}$$\varepsilon$-ungefähre Randbedingung von gegeben u 1 , … , u j - 1 .$u_j$$u_1, \ldots, u_{j-1}$
   • Zeichnen Sie gemäß Punkt 1, was wiederum mit numerischer Inversion leicht zu bewerkstelligen sein sollte.$u_j \sim D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1})$

Diskussion

$\varepsilon$$C(u_1,\ldots,u_k)$$\varepsilon$

$O(2^{k})$$k$$k = 3$$\varepsilon$, was etwas über der Maschinengenauigkeit liegen sollte). Und vielleicht gibt es Möglichkeiten, dies besser zu machen als den naiven Ansatz.

Wie ich bereits erwähnt habe, ist dies nicht der Fall, sodass möglicherweise andere Probleme auftreten.