Ist der Median eine „Metrik“ oder eine „topologische“ Eigenschaft?

Ich entschuldige mich für den leichten Missbrauch der Terminologie; Ich hoffe es wird klar, was ich unten meine.

Betrachten wir eine Zufallsvariable . Sowohl der Mittelwert als auch der Median können durch ein Optimalitätskriterium charakterisiert werden: Der Mittelwert ist die Zahl , die minimiert, und der Median die Zahl, die minimiert) . In dieser Perspektive ist der Unterschied zwischen Mittelwert und Median die Wahl der "Metrik" zur Bewertung von Abweichungen, dem Quadrat oder dem absoluten Wert. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

Andererseits ist der Median die Zahl, für die (unter der Annahme einer absoluten Kontinuität), dh diese Definition hängt nur von der Fähigkeit ab, Werte von zu ordnen und ist unabhängig von wie sehr sie sich unterscheiden. Eine Folge davon ist , dass für jede streng ansteigende Funktion , , es bedeutet "topologisches" im Sinne Invarianz unter "gummiartigen" Transformationen. $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Jetzt habe ich die Mathematik durchgeführt und weiß, dass ich ausgehend vom Optimalitätskriterium zum Quantil gelangen kann, sodass beide dasselbe beschreiben. Trotzdem bin ich verwirrt, weil meine Intuition mir sagt, dass etwas, das von einer "Metrik" abhängt, nicht zu einer "topologischen" Eigenschaft führen kann. $\frac12$

Kann jemand dieses Rätsel für mich lösen?

mean median

— A. Donda
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Schöner Titel! :-)

— Luis Mendo

Der Fehler in Ihrer Argumentation ist, dass etwas, das von einer Metrik abhängt, keine topologische Eigenschaft sein kann.

Nehmen Sie die Kompaktheit der metrischen Räume. Dies kann anhand der Metrik definiert werden: Kompaktheit bedeutet, dass der Raum vollständig (abhängig von der Metrik) und vollständig begrenzt (abhängig von der Metrik) ist. Es stellt sich jedoch heraus, dass diese Eigenschaft im Homöomorphismus eine Invariante ist und tatsächlich nur in Bezug auf die Topologie definiert werden kann (endliche Unterabdeckungen jeder Abdeckung, wie üblich).

Ein weiteres Beispiel sind die verschiedenen Homologietheorien. Nur die singuläre Homologie ist in ihrer Definition wirklich topologisch. Alle anderen, einfachen, zellulären, De Rham (Kohomologie, aber gib mir ein wenig Lockerheit) usw. hängen von der zusätzlichen Struktur ab, erweisen sich jedoch als gleichwertig (und sind viel einfacher zu bearbeiten).

In der Mathematik kommt dies häufig vor. Manchmal ist der einfachste Weg, etwas zu definieren, die Verwendung einer Hilfsstruktur, und dann wird gezeigt, dass die resultierende Entität tatsächlich überhaupt nicht von der Wahl der Hilfsstruktur abhängt.

— Matthew Drury
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Danke für die Antwort! Es scheint, dass Sie meine Terminologie ernster nehmen, als ich es für möglich gehalten habe. Ich muss zugeben, dass ich nur die grundlegendsten Kenntnisse über topologische und metrische Räume habe, daher könnte dies eine dumme Frage sein: Ich verstehe, dass die Verwendung einer Hilfsstruktur das Leben erleichtert, obwohl dies nicht unbedingt erforderlich ist - ok, vielleicht ist das der Fall hier auch.

— A. Donda

Sie sagen aber auch, dass "die resultierende Entität tatsächlich überhaupt nicht von der Wahl der Hilfsstruktur abhängt". Verstehe ich richtig, dass man verschiedene Hilfsstrukturen verwenden kann, um zu genau derselben Topologie zu gelangen? Wenn ja, dann bricht die Analogie hier zusammen, weil ich mit der "Quadratmetrik" nicht zum Median komme, sondern zum Mittelwert, der bei monotonen Transformationen nicht invariant ist.

— A. Donda

Guter Punkt. Ich nehme an, es ist nicht so überraschend, wenn etwas, das als Struktur definiert werden kann, als schwächere Struktur definierbar wird - und wenn dies passiert, haben Sie oft ein nützliches Konzept gefunden! In Ihrem Fall können Sie den Median in Bezug auf die Arithmetik und Integration von reellen Zahlen definieren, was eine Menge Struktur darstellt. Tatsächlich gibt es jedoch eine Definition, die die Arithmetik gegen die Reihenfolge eintauscht, eine schwächere Struktur. Meine Fälle waren extrem, wo sich herausstellte, dass die schwächere Struktur fast keine Struktur ist.

— Matthew Drury

Ein weiterer Punkt. Man könnte sagen, dass der Grund dafür, dass monotone Transformationen den Median beibehalten, darin besteht, dass es eine Möglichkeit gibt, sie in Bezug auf die Struktur zu definieren, für die monotone Transformationen die Morphismen sind . Morphismus ist ein allgemeines abstraktes Unsinnswort, das Funktion bedeutet , die eine gewisse Struktur bewahrt .

— Matthew Drury

Ok, ich verstehe den allgemeinen Punkt. Aber ich habe immer noch das Gefühl, dass etwas ungeklärt bleibt, insbesondere der oben erwähnte Punkt. Ich habe gestimmt, aber aus diesem Grund werde ich Ihre Antwort nicht akzeptieren - vielleicht hat jemand zusätzliche Einsichten. Danke noch einmal!

— A. Donda