Ungefähre Verteilung des Produkts von N normal iid? Sonderfall μ≈0

Gegeben IId und , sucht nach: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

genaue geschlossene Formverteilungsnäherung von $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
asymptotisch ( exponentiell) ?) Approximation des gleichen Produkts

Dies ist ein Sonderfall einer allgemeineren Frage . $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
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1. Haben Sie Informationen zu

und

? (Es wäre schön, wenn zum Beispiel alle

wären .) (2) Eine asymptotische Normalapproximation ist schrecklich , weil

asymptotisch nicht im entferntesten normal aussieht.

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

Ich hatte gerade ein kurzes Spiel damit. Wenn Sie interessiert sind, ist es möglich, eine exakte geschlossene Lösung für das Produkt von

Zufallsvariablen zu erhalten, die iid

. Der Nicht-Null-

Fall macht die Dinge viel komplizierter.

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

— Wolfies

@whuber (1) Nachdem ich ein Monte Carlo mit einigen anderen

und

, fand ich, dass sich die Verteilung von

für

und

ziemlich gut verhält

; jetzt möchte ich einen schönen Ausdruck für

und

ähnlich wie

einige schöne Näherungen hat. Ich habe ein paar Annäherungen über Taylor-Erweiterung erstellt, aber sie verhalten sich schlecht. (2) Nun,

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$ "sieht" definitiv aus wie eine Summe von Normalen mit Chi im Quadrat, also kann

auf Normal reduziert werden, wenn die Näherung dies "beweist".

F

$F$

— Andrei Pozolotin

Wenn

, wird

durch eine logarithmische Normalverteilung gut approximiert (wie eine Anwendung des Barry-Esseen-Theorems auf

zeigt).

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

— whuber

@whuber direkte Anwendung von Barry-Esseen ergibt

, was in der Tat schön ist, aber eine gewisse Struktur verliert:

sollte negativ sein,

sollte von

abhängenusw. Vielleicht gibt es bessere Möglichkeiten, es anzuwenden?

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

— Andrei Pozolotin

Es ist möglich, eine exakte Lösung im Nullmittelfall (Teil B) zu erhalten.

Das Problem

$(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

$\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

Lösung

Das pdf des Produktes zweier solcher Normalen ist einfach:

... wo ich die TransformProductFunktion aus dem mathStatica- Paket für Mathematica verwende . Die Domäne der Unterstützung ist:

Das Produkt aus 3, 4, 5 und 6 Normalen wird durch iteratives Anwenden derselben Funktion erhalten (hier viermal):

... wo MeijerG die Meijer G-Funktion bezeichnet

$n$ $N(0,\sigma^2)$ random variables is:

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

Quick Monte Carlo check

Here is a quick check comparing:

the theoretical pdf just obtained (when $n = 6$ and $\sigma=3$ ): RED DASHED curve
to the empirical Monte Carlo pdf: squiggly BLUE curve

Looks fine! [ the blue squiggly Monte curve is obscuring the exact red-dashed curve ]

— wolfies
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Outstanding, thank you, Colin. Now I see why I must buy your book :-) Also makes me wonder if

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$ looks any simpler. Time to dust off my Wolfram skills.

— Andrei Pozolotin