Maximum-Likelihood-Methode vs. Methode der kleinsten Quadrate

Was ist der Hauptunterschied zwischen der Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit (MLE) und der Schätzung der kleinsten Quadrate (LSE)?

Warum können wir MLE nicht zur Vorhersage von Werten in der linearen Regression und umgekehrt verwenden? $y$

Jede Hilfe zu diesem Thema wird sehr geschätzt.

— evros
quelle

Sie können MLE bei Bedarf in der linearen Regression verwenden. Dies kann sogar dann sinnvoll sein, wenn die Fehlerverteilung nicht normal ist und Sie das Ziel haben, die "wahrscheinlichste" Schätzung zu erhalten und nicht eine, die die Summe der Quadrate minimiert.

— Richard Hardy

Unter normalen Fehlerannahmen, wie sie typischerweise in der linearen Regression angenommen werden, sind MLE und LSE gleich!

— TrynnaDoStat

Durchsuchen Sie unsere Site nach dem Gauß-Markov-Theorem .

— whuber

danke für alle antworten. Das macht jetzt Sinn. Bei der Suche nach diesem Thema im Internet bin ich auf diesen Artikel gestoßen. Vielleicht hilft das auch: radfordneal.wordpress.com/2008/08/09/…

— evros

Eine Antwort finden Sie auch unter stats.stackexchange.com/questions/12562/… .

— whuber

Antworten:

Ich möchte eine unkomplizierte Antwort geben.

Was ist der Hauptunterschied zwischen der Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit (MLE) und der Schätzung der kleinsten Quadrate (LSE)?

Wie @TrynnaDoStat ausführte, entspricht die Minimierung des quadratischen Fehlers in diesem Fall der Maximierung der Wahrscheinlichkeit. Wie in Wikipedia gesagt ,

Wenn in einem linearen Modell die Fehler zu einer Normalverteilung gehören, sind die Schätzer der kleinsten Quadrate auch die Schätzer der maximalen Wahrscheinlichkeit.

sie können in Ihrem Fall als gleich angesehen werden,

Lassen Sie mich das etwas genauer erläutern. Da wir wissen, dass die Antwortvariable ( ) ein normales Fehlerverteilungsmodell hat, ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion Maximieren von L entspricht offensichtlich dem Minimieren von Das ist die Methode der kleinsten Quadrate. $y$

Y_{i} = λ_{1} X_{i} + λ_{2} + ϵ_{i} where ϵ \sim N (0, σ^{2})

$Y_i=\lambda_1X_i+\lambda_2+\epsilon_i \quad\text{ where }\epsilon\thicksim N(0,\sigma^2)$

L (Y_{1}, \dots, Y_{n}; λ_{1}, λ_{2}, σ^{2}) = \frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2} σ^{n}}} e x p (\frac{- 1}{2 σ^{2}} (\sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - λ_{1} X_{i} - λ_{2})^{2}))

$L(Y_1,\dots,Y_n;\lambda_1,\lambda_2,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}\sigma^n}}exp(\frac{-1}{2\sigma^2}(\sum_{i=1}^n(Y_i-\lambda_1X_i-\lambda_2)^2))$

\sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - λ_{1} X_{i} - λ_{2})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Y_i-\lambda_1X_i-\lambda_2)^2$

Warum können wir MLE nicht zur Vorhersage von Werten in der linearen Regression und umgekehrt verwenden? $y$

Wie oben erläutert, verwenden wir (genauer gesagt) die MLE zur Vorhersage von Werten. Und wenn die Antwortvariable eine willkürliche Verteilung anstelle einer normalen Verteilung aufweist, wie beispielsweise eine Bernoulli-Verteilung oder eine Verteilung aus der Exponentialfamilie, ordnen wir den linearen Prädiktor der Antwortvariablenverteilung unter Verwendung einer Verknüpfungsfunktion (gemäß der Antwortverteilung) zu, dann wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion das Produkt aller Ergebnisse (Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1) nach der Transformation. Wir können die Verknüpfungsfunktion im linearen Regress als Identitätsfunktion behandeln (da die Antwort bereits eine Wahrscheinlichkeit ist). $y$

— Lerner Zhang
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Vielleicht möchten Sie "diesen Fall" etwas klarer definieren, da die maximale Wahrscheinlichkeit und die kleinsten Quadrate im Allgemeinen nicht dasselbe sind.

— Matthew Gunn

@MatthewGunn Ja, ich habe "Entsprechung zu" verwendet, die nicht "gleich" ist.

— Lerner Zhang

Wäre großartig, wenn Sie uns ein Beispiel geben würden, in dem das lineare Modell einer nicht normalen Fehlerverteilung folgt und wie Sie in einem solchen Fall MLE verwenden, um die besten Koeffizienten zu schätzen. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie uns zumindest auf eine korrekte Quelle verweisen, die dies mit linearen Modellen wie der Poisson-Regression

— demonstriert

ML ist eine höhere Menge von Schätzern, die die kleinsten absoluten Abweichungen ( -Norm) und die kleinsten Quadrate ( -Norm) enthält. Unter der Haube von ML teilen die Schätzer eine Vielzahl gemeinsamer Eigenschaften wie den (leider) nicht existierenden Knickpunkt. Tatsächlich können Sie den ML-Ansatz als Ersatz verwenden, um viele Dinge, einschließlich OLS, zu optimieren, solange Sie wissen, was Sie tun. $L_1$ $L_2$

$L_2$ geht auf CF Gauss zurück und ist etwa 200 Jahre alt, während der moderne ML-Ansatz auf (IMHO) Huber 1964 zurückgeht. Viele Wissenschaftler sind an Norms und ihre Gleichungen gewöhnt. Die Theorie ist gut verstanden und es gibt viele veröffentlichte Artikel, die als nützliche Erweiterungen angesehen werden können: $L_2$

Daten-Snooping
stochastische Parameter
schwache Zwänge

Professionelle Anwendungen passen nicht nur auf Daten, sondern prüfen:

wenn die Parameter signifikant sind
wenn Ihr Datensatz Ausreißer hat
welcher Ausreißer toleriert werden kann, da er die Leistung nicht beeinträchtigt
welche Messung sollte entfernt werden, da sie nicht zum Freiheitsgrad beiträgt

Es gibt auch eine Vielzahl von speziellen statistischen Tests für Hypothesen. Dies gilt nicht für alle ML-Schätzer oder sollte zumindest mit einem Nachweis angegeben werden.

Ein weiterer profaner Punkt ist, dass sehr einfach zu implementieren ist und auf Bayes'sche Regularisierung oder andere Algorithmen wie Levenberg-Marquard erweitert werden kann. $L_2$

Nicht zu vergessen: Leistung. Nicht alle Kleinste-Quadrate-Fälle wie Gauß-Markov ergeben symmetrische positive definitive Normalgleichungen . Deshalb benutze ich für jede -Norm eine eigene Bibliothek . Für diesen bestimmten Fall können spezielle Optimierungen durchgeführt werden. $\mathbf{X\beta}=\mathbf{L}+\mathbf{r}$ $(\mathbf{X}^{T}\mathbf{X})^{-1}$ $L_2$

Fühlen Sie sich frei, um Details zu fragen.

— nali
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