Was ist das Minimum von über alle kontinuierlichen unimodalen Verteilungen in einem begrenzten Intervall ?

Alle Verteilungen in einem begrenzten Intervall erfüllen: $[0,1]$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$

Dabei ist der Mittelwert und die Varianz. $\mu$ $\sigma^2$

Nehmen wir nun an, dass die Verteilung unimodal ist, in dem Sinne, dass sie höchstens ein lokales Maximum hat. Was ist der Mindestwert, den das folgende Verhältnis haben kann:

\frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} ?

$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$

variance

— winko
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... Ihre erste Gleichung impliziert, dass das Verhältnis nicht kleiner als 1 sein kann. Fragen Sie sich, welche Verteilung es gleich 1 macht?

— user603

Schauen Sie sich einen Bernoulli mit . Es ist ziemlich typisch, dass Lösungen für diese Art von extremen Problemen diskret und nur in wenigen Punkten sind. Sie scheinen mehrere "bucharbeiten" -ähnliche Beiträge verfasst zu haben. Ist irgendetwas von dieser Arbeit für ein Thema?

(p)

$(p)$

μ = p

$\mu=p$

— Glen_b -State Monica

@Glen_b Die Frage fragt jedoch nach einer unimodalen Verteilung, die eine verschmierte, fortlaufende Version eines Bernoulli nicht ist.

— Dougal

Die Gleichverteilung auf ergibt einen Wert von 3. Beta-Verteilungen ergeben und sind nur dann unimodal, wenn , , also auch 3 (wenn es auch gleichförmig ist). Ich habe mehrere andere benannte Verteilungsfamilien ( von hier aus ) ausprobiert und nie einen besseren Wert als 3 erhalten. Ich habe auch angefangen, ihn als Optimierungsproblem durch lineare Interpolation zwischen Punkten zu schreiben, aber es sah nach einem harten Optimierungsproblem aus, und ich habe vorher tatsächlich aufgehört codieren und versuchen.

[0, 1]

$[0, 1]$

α + β + 1

$\alpha + \beta + 1$

α > 1

$\alpha > 1$

β > 1

$\beta > 1$

— Dougal

Gleichzeitig auf math.SE gefragt, wo es bereits zwei Antworten erhalten hat (von denen eine vom Autor der Antwort wegen der wahrgenommenen Unhöflichkeit des OP gelöscht wurde).

— Dilip Sarwate

Ein Minimum existiert nicht. Ein Infimum tut es jedoch. Daraus folgt, dass

Das Supremum der Varianz von unimodalen Verteilungen, die auf mit dem Mittelwert ist ( ) oder ( ). $[0,1]$ $\mu$ $\mu(2 - 3\mu)/3$ $0 \le \mu \le 1/2$ $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ $1/2\le \mu \le 1$

Das Supremum wird tatsächlich durch eine Verteilung erreicht, die - obwohl sie keine Dichtefunktion hat - (im allgemeinen Sinne) immer noch als "unimodal" angesehen werden kann; es wird ein Atom bei (wenn ) oder ein Atom bei (wenn ) haben, aber ansonsten einheitlich sein. $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$

Ich werde das Argument skizzieren. Die Frage fordert uns auf, eine lineare Funktion zu optimieren

L_{x^{2}} : D [0, 1] \to R

$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$

vorbehaltlich verschiedener Gleichheits- und Ungleichheitsbeschränkungen, wobei die Menge der (vorzeichenbehafteten) Maße für das Intervall . Für differenzierbare und jede stetige Funktion $D[0,1]$ $[0,1]$ $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ $g:[0,1]\to\mathbb{R}$

L_{g} [F] = \int_{0}^{1} g (x) d F (x),

$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$

und erweitern Sie durch Kontinuität auf alle . $\mathcal{L}$ $D[0,1]$

Die Gleichheitsbeschränkungen sind

L_{1} [F] = 1

$\mathcal{L}_1[F] = 1$

und

L_{x} [F] = μ .

$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$

Die Ungleichheitsbeschränkungen sind folgende

f (x) \geq 0

$f(x) \ge 0$

und es existiert (ein "Modus"), so dass für alle und alle , $\lambda \in [0,1]$ $0\le x \le y \le \lambda$ $\lambda \le y \le x \le 1$

f (x) \leq f (y) .

$f(x) \le f(y).$

Diese Einschränkungen bestimmen eine konvexe Domäne über die optimiert werden soll. $\mathcal{X}\subset D[0,1]$ $\mathcal{L}_{x^2}$

Wie bei jedem linearen Programm in einem endlichen dimensionalen Raum werden die Extrema von an den Eckpunkten von . Dies sind offensichtlich die Maße, die in Bezug auf das Lebesgue-Maß absolut kontinuierlich sind und stückweise konstant sind , da an den Eckpunkten fast alle Ungleichungen zu Gleichheiten werden: und die meisten dieser Ungleichungen sind mit der Unimodalität von (nicht zunehmendes Schwanzverhalten). . $\mathcal{L}_g$ $\mathcal{X}$ $F$

Um die beiden Gleichheitsbeschränkungen zu erfüllen, müssen wir nur einen einzigen Bruch im Graphen von , beispielsweise bei einer Zahl . Bezeichnet man den konstanten Wert im Intervall wird und den konstanten Wert an sein , eine einfache Berechnung auf der Grundlage der Gleichheitsbedingung Ausbeuten $f$ $0\lt \lambda \lt 1$ $[0,\lambda)$ $a$ $(\lambda, 1]$ $b$

a = \frac{1 + λ - 2 μ}{λ}, b = \frac{2 μ - λ}{1 - λ} .

$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$

$Abbildung 1: Darstellung eines typischen $ f _ {(\ lambda, \ mu)} $.$

Diese Abbildung sagt alles: Sie zeigt die lokal konstante Verteilungsfunktion des Mittelwerts mit höchstens einer einzelnen Unterbrechung bei . (Die Darstellung von für sieht aus wie die Umkehrung dieser.) $\mu$ $\lambda$ $f_{(\lambda,\mu)}$ $\mu \gt 1/2$

Der Wert von bei solchen Maßen (den ich als , ist die Dichte einer Verteilung ) genauso leicht zu berechnen $\mathcal{L}_{x^2}$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F_{(\lambda, \mu)}$

L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} (2 μ + (2 μ - 1) λ) .

$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$

Dieser Ausdruck ist in linear , was bedeutet, dass er bei (wenn ), (wenn ) oder bei einem beliebigen Wert (wenn ) maximiert ist. . Außer wenn , sind die Grenzwerte der Maße nicht mehr stetig: die entsprechende Verteilung oder hat eine Sprungdiskontinuität bei oder (aber nicht bei beiden). $\lambda$ $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$ $\mu = 1/2$ $\mu=1/2$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ $0$ $1$

$Abbildung 2: Darstellung des optimalen $ F $ für $ \ mu = 2/5 $.$

Diese Abbildung zeigt das optimale für einen Mittelwert von . $F$ $\mu \approx 2/5$

Unabhängig davon ist der optimale Wert

σ_{μ}^{2} = sup_{λ} L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} μ (2 - 3 μ) .

$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$

Folglich ist die Infimum für ist $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ $0\le \mu \lt 1/2$

μ (1 - μ) / σ_{μ}^{2} = \frac{3 - 3 μ}{2 - 3 μ},

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$

mit einem vergleichbaren Ausdruck, wenn (erhalten durch Ersetzen von durch ). $1/2\lt \mu \le 1$ $\mu$ $1-\mu$

$Abbildung 3: Darstellung des Infimums gegen $ \ mu $.$

Diese Figur zeigt das Supremum gegen . $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ $\mu$

— whuber
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Ich denke, das ist eine schöne Antwort. Basiert es auf einem Lehrbuch oder Papier? Gibt es eine Referenz mit mehr Ergebnissen wie diesen?

— Becko

@ Becko Danke. Ich wünschte, ich könnte helfen, aber dies ist eine originelle Lösung. Ich bin mir nicht sicher, wo man nach anderen solchen Ergebnissen suchen würde, da ich kein Spezialist für Verteilungsungleichheiten bin.

— whuber