Ist der Median eine Art Mittelwert für eine Verallgemeinerung von „Mittelwert“?

Der Begriff "Mittelwert" geht weit über das traditionelle arithmetische Mittel hinaus. Dehnt es sich so weit aus, dass der Median mit einbezogen wird? In Analogie dazu

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

Die Analogie, die ich ziehe, ist das quasi-arithmetische Mittel , gegeben durch:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

Wenn wir zum Vergleich sagen, dass der Median eines Datensatzes mit fünf Elementen gleich dem dritten Element ist, können wir dies als Äquivalent zur Rangfolge der Daten von eins bis fünf ansehen (was wir möglicherweise durch eine Funktion $f$ ). Nehmen des Mittelwerts der transformierten Daten (die drei sind); und Ablesen des Werts des Datenelements, das Rang drei hatte (eine Art von $f^{-1}$ ).

In den Beispielen für den geometrischen Mittelwert, den harmonischen Mittelwert und den Effektivwert war eine feste Funktion, die für sich genommen auf jede beliebige Zahl angewendet werden kann. Um dagegen einen Rang zuzuweisen oder von den Rängen zu den ursprünglichen Daten zurückzukehren (ggf. zu interpolieren), ist die Kenntnis des gesamten Datensatzes erforderlich. Außerdem muss in Definitionen, die ich vom quasi-arithmetischen Mittel gelesen habe, f stetig sein. Wird der Median jemals als Spezialfall eines quasi-arithmetischen Mittels betrachtet und wenn ja, wie ist das f definiert? Oder wird der Median jemals als ein Beispiel für einen weiteren Begriff von "Mittelwert" beschrieben? Das quasi-arithmetische Mittel ist sicherlich nicht die einzige verfügbare Verallgemeinerung.$f$$f$$f$

Ein Teil des Themas ist terminologisch (was bedeutet überhaupt "bedeuten", insbesondere im Gegensatz zu "zentraler Tendenz" oder "Durchschnitt"?). Beispielsweise ist in der Literatur für Fuzzy-Steuerungssysteme eine Aggregationsfunktion eine zunehmende Funktion mit F ( a , a ) = a und F ( b , b ) = b ; eine Aggregationsfunktion für die$F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$$F(a,a)=a$$F(b,b)=b$ für alle x , y ∈ [ a , b ] wird als "Mittelwert" (im allgemeinen Sinne) bezeichnet. Eine solche Definition ist natürlich unglaublich weit gefasst! Und in diesem Zusammenhang wird der Median tatsächlich als eine Art Mittelwert bezeichnet. [ 1 ] Ich bin aber gespannt, ob sich weniger breite Charakterisierungen des Mittelwerts noch so weit erstrecken können, dass sie den Median umfassen - den sogenanntengeneralisierten Mittelwert$\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$$x,y \in [a,b]$$^{[1]}$(was besser als "Machtmittel" bezeichnet werden könnte) und Lehmermittel nicht, aber andere können. Für das, was es wert ist, nimmt Wikipedia "Median" in seine Liste der "anderen Mittel" auf , jedoch ohne weiteren Kommentar oder Zitat.

: Eine derart weit gefasste Definition des Mittelwerts, die für mehr als zwei Eingaben geeignet ist, scheint im Bereich der Fuzzy-Kontrolle Standard zu sein und taucht bei Internetsuchen häufig auf, wenn nach Instanzen des Medians gesucht wird, der als Median bezeichnet wird. Ich werde z. B. Fodor, JC & Rudas, IJ (2009), "Auf einigen Klassen von Aggregationsfunktionen, die migrativ sind",IFSA / EUSFLAT Conf. (S. 653-656). Im Übrigen wird in diesem Aufsatz darauf hingewiesen, dass einer der frühesten Verwender des Begriffs "Mittelwert" (moyenne)Cauchy war, der an der Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère Partie teilgenommen hat. Analysieren Sie algébrique (1821). Spätere Beiträge vonAczél,Chisini,$[1]$Kolmogorov und de Finetti werden in Fodor, J., und Roubens, M. (1995), " Über Bedeutsamkeit der Mittel ", Journal of Computational and Applied Mathematics , 64 (1), bei der Entwicklung allgemeinerer Konzepte von "Mittel" als Cauchy anerkannt. 103-115.

Hier ist eine Möglichkeit, einen Median als "allgemeine Art von Mittelwert" zu betrachten: Definieren Sie zunächst Ihr gewöhnliches arithmetisches Mittel in Bezug auf die Ordnungsstatistik sorgfältig:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

Wenn wir dann diesen gewöhnlichen Durchschnitt der Auftragsstatistik durch eine andere Gewichtsfunktion ersetzen, erhalten wir einen Begriff des "verallgemeinerten Mittels", der den Auftrag berücksichtigt.

In diesem Fall wird aus einer Vielzahl möglicher Maßnahmen des Zentrums eine "verallgemeinerte Art von Mitteln". In dem Fall des Median, für ungerade , w ( n + 1 ) / 2 = 1 , und alle andere sind 0, und für noch n ,$n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$ .

In ähnlicher Weise können Ortsschätzungen, wenn wir die M-Schätzung betrachten , auch als Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels angesehen werden (wobei für den Mittelwert $\rho$ quadratisch, linear oder die Gewichtsfunktion flach ist) und des Medians angesehen werden fällt auch in diese Klasse von Verallgemeinerungen. Dies ist eine etwas andere Verallgemeinerung als die vorherige.$\psi$

Es gibt eine Vielzahl anderer Möglichkeiten, den Begriff „Mittelwert“ zu erweitern, einschließlich des Medians.

Wenn Sie den Mittelwert als den Punkt betrachten, der die quadratische Verlustfunktion SSE minimiert, dann ist der Median der Punkt, der die lineare Verlustfunktion MAD minimiert, und der Modus ist der Punkt, der eine 0-1-Verlustfunktion minimiert. Keine Transformationen erforderlich.

Der Median ist also ein Beispiel für einen Fréchet-Mittelwert .

Eine einfache , aber fruchtbare Verallgemeinerung ist gewichtete Mittel , wobei Σ n i = 1 w i = 1 . Offensichtlich ist der gemeinsame oder Gartenmittelwert der einfachste Spezialfall mit gleichen Gewichten w i = 1 /$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$ .

Wenn die Gewichte von der Größenordnung des kleinsten bis zum größten Wert abhängen, deutet dies auf verschiedene andere Sonderfälle hin, insbesondere auf die Idee eines getrimmten Mittelwerts , der auch unter anderen Namen bekannt ist.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, Sie ignorieren den kleinsten und den größten Wert und nehmen den (gleichgewichteten) Mittelwert der anderen, um eine übermäßige Verwendung der Notation zu vermeiden, wenn dies nicht erforderlich oder besonders hilfreich ist. Oder stellen Sie sich vor, Sie ignorieren die zwei Kleinsten und die zwei Größten und nehmen den Mittelwert der anderen. und so weiter. Beim stärksten Zuschneiden werden alle Werte außer dem einen oder den zwei Mittelwerten in der angegebenen Reihenfolge ignoriert, je nachdem, ob die Anzahl der Werte gerade oder ungerade ist. Dies ist natürlich nur der vertraute Median . Nichts in der Idee des Zuschneidens verpflichtet Sie dazu, gleiche Zahlen in jedem Ende eines Samples zu ignorieren, aber mehr über das asymmetrische Zuschneiden zu sagen, würde uns weiter von der Hauptidee in diesem Thread entfernen.

Kurz gesagt, Mittelwerte (unqualifiziert) und Mediane sind extreme Grenzfälle für die Familie der (symmetrischen) getrimmten Mittelwerte. Die Gesamtidee besteht darin, Kompromisse zwischen einem Ideal der Verwendung aller Informationen in den Daten und einem anderen Ideal des Schutzes vor extremen Datenpunkten zuzulassen, die unzuverlässige Ausreißer sein können.

In der Referenz finden Sie eine relativ neue Übersicht.

$L^p$

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Grundlegende Axiome

$f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

$\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$ for all $\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$ (a mean lies between the extremes),

(2) $f_n$ is invariant under permutations of its arguments (means do not care about the order of the data), and

(3) each $f_n$ is nondecreasing in each of its arguments (as the numbers increase, their mean cannot decrease).

We must allow for $A$ to be a proper subset of real numbers (such as all positive numbers) because plenty of means, such as geometric means, are defined only on such subsets.

We might also want to add that

(1') there exists at least some $\x\in A$ for which $\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$ (means are not extremes). (We cannot require that this always hold. For instance, the median of $(0,0,\ldots,0,1)$ equals $0$, which is the minimum.)

These properties seem to capture the idea behind a "mean" being some kind of "middle value" of a set of (unordered) data.

Consistency axioms

I am further tempted to stipulate the rather less obvious consistency criterion

(4.a) The range of $f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$ as $t$ varies throughout the interval $[\min(\x), \max(\x)]$ includes $f_n(\x)$. In other words, it is always possible to leave the mean unchanged by adjoining an appropriate value $t$ to a dataset. In conjunction with (3), it implies that adjoining extreme values to a dataset will pull the mean towards those extremes.

If we wish to apply the concept of mean to a distribution or "infinite population", then one way would be to obtain it in the limit of arbitrarily large random samples. Of course the limit might not always exist (it does not exist for the arithmetic mean when the distribution has no expectation, for instance). Therefore I do not want to impose any additional axioms to guarantee the existence of such limits, but the following seems natural and useful:

(4.b) Whenever $A$ is bounded and $\x_n$ is a sequence of samples from a distribution $F$ supported on $A$, then the limit of $f_n(\x_n)$ almost surely exists. This prevents the mean from forever "bouncing around" within $A$ even as sample sizes get larger and larger.

Along the same lines, we could further narrow the idea of a mean to insist that it become a better estimator of "location" as sample sizes increase:

(4.c) Whenever $A$ is bounded, then the variance of the sampling distribution of $f_n(X^{(n)})$ for a random sample $X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ of $F$ is nondecreasing in $n$.

Continuity axiom

We might consider asking means to vary "nicely" with the data:

(5) $f_n$ is separately continuous in each argument (a small change in the data values should not induce a sudden jump in their mean).

This requirement might eliminate some strange generalizations, but it does not rule out any well-known mean. It will rule out some aggregation functions.

An invariance axiom

We can conceive of means as applying to either interval or ratio data (in Stevens' well-known sense). We cannot demand they be invariant under shifts of location (the geometric mean is not), but we can require

(6) $f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$ for all $\x \in A^n$ and all $\lambda \gt 0$ for which $\lambda \x \in A^n$. This says only that we are free to compute $f_n$ using any units of measurement we like.

All the means mentioned in the question satisfy this axiom except for some aggregation functions.

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Discussion

General aggregation functions $f_2$, as described in the question, do not necessarily satisfy axioms (1'), (2), (3), (5), or (6). Whether they satisfy any consistency axioms may depend on how they are extended to $n\gt 2$.

The usual sample median enjoys all these axiomatic properties.

We could augment the consistency axioms to include

(4.d) $f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$ for all $\x \in A^n.$

This implies that when all elements of a dataset are repeated equally often, the mean does not change. This may be too strong, though: the Winsorized mean does not have this property (except asymptotically). The purpose of Winsorizing at the $100\alpha\%$ level is to provide resistance against changes in at least $100\alpha\%$ of the data at either extreme. For instance, the 10% Winsorized mean of $(1,2,3,6)$ is the arithmetic mean of $(2,2,3,3)$, equal to $2.5$, but the 10% Winsorized mean of $(1,1,2,2,3,3,6,6)$ is $3.5$.

I do not know which of the consistency axioms (4.a), (4.b), or (4.c) would be most desirable or useful. They appear to be independent: I don't think any two of them imply the third.

I think the median can be considered a type of a generalization of the arithmetic mean. Specifically, the arithmetic mean and the median (among others) can be unified as special cases of the Chisini mean. If you are going to perform some operation over a set of values, the Chisini mean is a number that you can substitute for all of the original values in the set and still get the same result. For example, if you want to sum your values, replacing all the values with the arithmetic mean will yield the same sum. The idea is that a certain value is representative of the numbers in the set in the context of a certain operation over those numbers. (An interesting implication of this way of thinking is that a given value—the arithmetic mean—can only be considered representative under the assumption that you are doing certain things with those numbers.)

This is less obvious for the median (and I note that the median is not listed as one of the Chisini means on Wolfram or Wikipedia), but if you were to allow operations over ranks, the median could fit within the same idea.

The question is not well defined. If we agree on the common "street" definition of mean as the sum of n numbers divided by n then we have a stake in the ground. Further If we would look at measures of central tendency we could say both Mean and Median are generealization but not of each other. Part of my background is in non parametrics so I like the median and the robustness it provides, invariance to monotonic transformation and more. but each measure has it's place depending on objective.