Was konvergiert schneller, Mittelwert oder Median?

Wenn ich iid-Variablen aus N (0,1) zeichne, konvergiert dann der Mittelwert oder der Median schneller? Wie viel schneller?

Um genauer zu sein, sei eine Folge von iid-Variablen, die aus N (0,1) gezogen werden. Definieren Sie und als Median von . Was konvergiert schneller zu 0, oder ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Um genau zu sein, was es bedeutet, schneller zu konvergieren: Existiert ? Wenn ja, was ist das? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
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Fragen Sie nach der Konvergenz der Wahrscheinlichkeit einer Punktschätzung in Bezug auf den Populationsparameter? Oder fragen Sie nach der Konvergenz der Verteilung einer Zufallsvariablen?

— Ryan Simmons

Mit "schneller auf 0 konvergieren" meinen Sie "was hat die kleinere asymptotische Varianz" oder etwas anderes?

— Glen_b -State Monica

@Glen_b Bis zu einem gewissen Grad ist dies auf ein echtes Problem zurückzuführen: Der Median ist robuster gegenüber Ausreißern, sodass der Stichprobenmedian mit zunehmender Stichprobengröße schneller konvergieren sollte als der Mittelwert. Ich weiß nicht genau, wie die Konvergenzrate in dieser Situation am besten ausgedrückt werden kann. Der

könnte ich fragen, ob

existiert und wenn ja, was es ist.

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

— Josh Brown Kramer

Wenn die Daten tatsächlich aus einer Normalverteilung entnommen werden, sind Ausreißer äußerst selten - so selten, dass die Auswirkung auf den Mittelwert den Stichprobenmittelwert als effizienteste Schätzung des Populationsmittelwerts belässt. Sie benötigen jedoch keinen unterschiedlichen schweren Schwanz, um den Median wettbewerbsfähig zu machen. Das Verhältnis, das Sie erwähnen, wird in der Tat etwa 0,63 sein

— Glen_b - Monica

Der Mittelwert und der Median sind in diesem speziellen Fall gleich. Es ist bekannt, dass der Median als Mittelwert 64% effizient ist, sodass der Mittelwert schneller konvergiert. Ich kann mehr Details schreiben, aber Wikipedia behandelt Ihre Frage genau.

— Yair Daon
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Hast du ein Zitat?

— Josh Brown Kramer

Laplace, PSde (1818) Deuxième Supplément à la Théorie Analytique des Probabilités , Paris, Courcier - Laplace gibt die asymptotische Verteilung sowohl für den Mittelwert als auch für den Median an. Siehe auch den Abschnitt über die Varianz des Medians auf Wikipedia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) die ultimative Referenz !!!

— Xi'an

@Glen_b Ja, das war eine epische Antwort, ich habe ziemlich hart gelacht. Dank dafür!

— user541686

@ xi'an wolltest du schreiben, dass der Mittelwert und der Median die gleiche Menge sind?

— Yair Daon