Berechnen Sie das Quantil der Summe der Verteilungen aus bestimmten Quantilen

Nehmen wir unabhängige Zufallsvariablen für die die Quantile auf einer bestimmten Ebene durch Schätzung aus Daten bekannt sind: , ..., . Definieren wir nun die Zufallsvariable als die Summe . Gibt es eine Möglichkeit, den Wert des Quantils der Summe auf der Ebene zu berechnen , in ? $N$ $X_1, ..., X_N$ $\alpha$ $\alpha = P(X_1 < q_1)$ $\alpha = P(X_N < q_N)$ $Z$ $Z = \sum_{i=1}^N X_i$ $\alpha$ $q_z$ $\alpha = P(Z < q_Z)$

Ich denke , dass in bestimmten Fällen, wie wenn $X_i$ folgt eine Gaußsche Verteilung $\forall i$ so einfach ist, aber ich bin nicht so sicher , für den Fall, dass die Verteilung der $X_i$ unbekannt ist. Irgendwelche Ideen?

quantiles

— Albarji
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diese

q_{i}

$q_i$ aus Daten geschätzt oder sind sie theoretisch bekannt?

— Chuse

Dies ist nicht möglich, ohne spezifische Annahmen über die Verteilungen des

X_{i}

$X_i$ . Haben Sie eine Familie von Distributionen im Sinn?

— whuber

@chuse die

q_{i}

$q_i$ werden aus Daten geschätzt, da die Verteilung des

X_{i}

$X_i$ nicht bekannt ist, aber Stichproben verfügbar sind. Ich habe die Frage mit dieser Tatsache aktualisiert.

— Albarji

@whuber Ich habe keine Vorkenntnisse über die Familie der Distributionen, denen das

X_{i}

$X_i$ möglicherweise folgt, obwohl Datenbeispiele verfügbar sind. Würde die Annahme einer Verteilungsfamilie (abgesehen von Gauß) dies erleichtern?

— Albarji

$q_Z$ könnte alles sein.

Um diese Situation zu verstehen, lassen Sie uns eine vorläufige Vereinfachung vornehmen. Durch die Arbeit mit wir eine einheitlichere Charakterisierung $Y_i = X_i - q_i$

α = Pr (X_{i} \leq q_{i}) = Pr (Y_{i} \leq 0) .

$\alpha = \Pr(X_i \le q_i) = \Pr(Y_i \le 0).$

Das heißt, jedes hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, negativ zu sein. weil $Y_i$

W = \sum_{i} Y_{i} = \sum_{i} X_{i} - \sum_{i} q_{i} = Z - \sum_{i} q_{i},

$W = \sum_i Y_i = \sum_i X_i - \sum_i q_i = Z - \sum_i q_i,$

Die definierende Gleichung für ist äquivalent zu $q_Z$

α = Pr (Z \leq q_{Z}) = Pr (Z - \sum_{i} q_{i} \leq q_{Z} - \sum_{i} q_{i}) = Pr (W \leq q_{W})

$\alpha = \Pr(Z \le q_Z) = \Pr(Z - \sum_i q_i \le q_Z - \sum_i q_i) = \Pr(W \le q_W)$

mit . $q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Was sind die möglichen Werte von ? Betrachten Sie den Fall, in dem alle mit aller Wahrscheinlichkeit dieselbe Verteilung auf zwei Werte haben, von denen einer negativ ( ) und der andere positiv ( ) ist. Die möglichen Werte der Summe sind auf für . Jedes davon tritt mit Wahrscheinlichkeit auf $q_W$ $Y_i$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $ky_{-} + (n-k)y_{+}$ $k=0, 1, \ldots, n$

{Pr}_{W} (k y_{-} + (n - k) y_{+}) = (\binom{n}{k}) α^{k} (1 - α)^{n - k} .

${\Pr}_W(ky_{-} + (n-k)y_{+}) = \binom{n}{k}\alpha^k(1-\alpha)^{n-k}.$

Die Extreme können von gefunden werden

Wählen Sie und so dass ; und werden dies erreichen. Dies garantiert, dass negativ ist, außer wenn alle positiv sind. Diese Chance entspricht . Es überschreitet wenn , was bedeutet, dass das Quantil von streng negativ sein muss. $y_{-}$ $y_{+}$ $y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$ $y_{-}=-n$ $y_{+}=1$ $W$ $Y_i$ $1 - (1-\alpha)^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$
Wählen Sie und so dass ; und werden dies erreichen. Dies garantiert, dass nur dann negativ ist, wenn alle negativ sind. Diese Chance entspricht . Es ist kleiner als wenn , was bedeutet, dass das Quantil von streng positiv sein muss. $y_{-}$ $y_{+}$ $(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$ $y_{-}=-1$ $y_{+}=n$ $W$ $Y_i$ $\alpha^n$ $\alpha$ $n\gt 1$ $\alpha$ $W$

Dies zeigt, dass das Quantil von entweder negativ oder positiv sein kann, aber nicht Null ist. Wie groß könnte es sein? Es muss einer ganzzahligen linearen Kombination von und . Wenn Sie diese beiden Werte ganzzahlig machen, wird sichergestellt, dass alle möglichen Werte von ganzzahlig sind. Wenn wir mit einer beliebigen positiven Zahl skalieren , können wir garantieren, dass alle integralen linearen Kombinationen von und ganzzahlige Vielfache von . Da , muss es mindestens groß sein . Folglich, $\alpha$ $W$ $y_{-}$ $y_{+}$ $W$ $y_{\pm}$ $s$ $y_{-}$ $y_{+}$ $s$ $q_W \ne 0$ $s$ Die möglichen Werte von (und woher ) sind unbegrenzt, $q_W$ $q_Z$ egal was gleich sein mag. $n\gt 1$

Die einzige Möglichkeit, Informationen über abzuleiten , besteht darin, die Verteilungen des spezifisch und stark , um die Art der unausgeglichenen Verteilungen zu verhindern und zu begrenzen, die zur Ableitung dieses negativen Ergebnisses verwendet werden. $q_Z$ $X_i$

— whuber
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Vielen Dank @whuber für die Erklärung und das anschauliche Beispiel. Obwohl die Antwort negativ ist, kann ich nicht sagen, dass dies unerwartet war. Dann werde ich versuchen herauszufinden, welche Verteilungsfamilie zu meinen Daten passt und ob ich damit die Quantile der Summe berechnen kann.

— Albarji