Ich kenne den Namen dieser Distribution nicht, aber Sie können ihn einfach aus dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ableiten. Angenommen, jeweils negative Binomialverteilungen mit Parametern bzw. . Ich verwende die Parametrisierung, wobei die Anzahl der Erfolge vor dem jeweils 'ten und ' ten Fehler darstellen. Dann,( r 1 , p 1 ) ( r 2 , p 2 ) X , Y r 1 r 2X, Y( r1, p1)( r2, p2)X, Yr1r2
P( X- Y= k ) = EY.( S.( X- Y= k ) ) = EY.( S.( X= k + Y) ) =∑y= 0∞P( Y= y) P( X= k + y)
Wir wissen
P( X= k + y) = ( k + y+ r1- 1k + y)(1−p1)r1pk+y1
und
P(Y=y) =(y+r2−1y) (1-p2)r2py2
so
P( X- Y= k ) = ∑y= 0∞( y+ r2- 1y) (1-p2)r2py2⋅ ( k + y+ r1- 1k + y) (1-p1)r1pk + y1
Das ist nicht hübsch (yikes!). Die einzige Vereinfachung, die ich gleich sehe, ist
pk1( 1 - p1)r1( 1 - p2)r2∑y= 0∞( p1p2)y( y+ r2- 1y) ( k+y+ r1- 1k + y)
Das ist immer noch ziemlich hässlich. Ich bin nicht sicher, ob dies hilfreich ist, aber dies kann auch als umgeschrieben werden
pk1( 1 - p1)r1( 1 - p2)r2( r1- 1 ) ! ( r2- 1 ) !∑y= 0∞( p1p2)y( y+ r2- 1 ) ! ( k + y+ r1- 1 ) !y! ( k + y) !
Ich bin nicht sicher, ob es einen vereinfachten Ausdruck für diese Summe gibt, aber er könnte numerisch angenähert werden, wenn Sie ihn nur zur Berechnung von Werten benötigenp
Ich habe mit der Simulation bestätigt, dass die obige Berechnung korrekt ist. Hier ist eine grobe R-Funktion, um diese Massenfunktion zu berechnen und einige Simulationen durchzuführen
f = function(k,r1,r2,p1,p2,UB)
{
S=0
const = (p1^k) * ((1-p1)^r1) * ((1-p2)^r2)
const = const/( factorial(r1-1) * factorial(r2-1) )
for(y in 0:UB)
{
iy = ((p1*p2)^y) * factorial(y+r2-1)*factorial(k+y+r1-1)
iy = iy/( factorial(y)*factorial(y+k) )
S = S + iy
}
return(S*const)
}
### Sims
r1 = 6; r2 = 4;
p1 = .7; p2 = .53;
X = rnbinom(1e5,r1,p1)
Y = rnbinom(1e5,r2,p2)
mean( (X-Y) == 2 )
[1] 0.08508
f(2,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
[1] 0.08509068
mean( (X-Y) == 1 )
[1] 0.11581
f(1,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
[1] 0.1162279
mean( (X-Y) == 0 )
[1] 0.13888
f(0,r1,r2,1-p1,1-p2,20)
[1] 0.1363209
Ich habe festgestellt, dass die Summe für alle Werte, die ich ausprobiert habe, sehr schnell konvergiert. Daher ist es nicht erforderlich, UB auf einen Wert über 10 festzulegen. Beachten Sie, dass R in rnbinom Funktion eingebaut parametrisiert die negative binomische in Bezug auf die Anzahl der Ausfälle vor dem -ten Erfolg, in dem Fall , dass Sie alle die ersetzen , bräuchten 's in der obige Formeln mit zur Kompatibilität.rp1, p21 - p1, 1 - p2