Erwartung an Produkte höherer Ordnung von Normaldistributionen

Ich habe zwei normalverteilte Variablen und mit mittlerer Null und Kovarianzmatrix . Ich bin daran interessiert, den Wert von anhand der Einträge von zu berechnen . $X_1$ $X_2$ $\Sigma$ $E[X_1^2 X_2^2]$ $\Sigma$

Ich habe das Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit verwendet, um aber ich bin mir nicht sicher, auf was sich die innere Erwartung reduziert. Gibt es hier eine andere Methode? $E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Vielen Dank.

Bearbeiten: Die Variablen sind auch multivariat normalverteilt.

normal-distribution conditional-expectation

— AGK
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Do und genießen Sie eine bivariate auch Normalverteilung? (Nur zu sagen, dass und mit der Kovarianzmatrix normal sind, reicht nicht aus, um zu dem Schluss zu kommen, dass die gemeinsame Verteilung bivariat normal ist).

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Σ

$\Sigma$

— Dilip Sarwate

Für die spezifische Anwendung, an die ich denke, haben und eine bivariate Normalverteilung nach dem multivariaten zentralen Grenzwertsatz. Ich habe vergessen, dies in meinem ursprünglichen Beitrag zu erwähnen.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— AGK

@AGK Wenn Sie Ihren Beitrag klarstellen möchten, gibt es eine Schaltfläche "Bearbeiten", mit der Sie Änderungen vornehmen können. Dies ist besser für zukünftige Leser, die dann keine wichtigen Informationen in den Kommentaren unter der Frage nachschlagen müssen.

— Silverfish

Die Erwartung ist eindeutig proportional zum Produkt der quadratischen Skalierungsfaktoren . Die Proportionalitätskonstante wird durch Standardisierung der Variablen erhalten, wodurch auf die Korrelationsmatrix mit der Korrelation reduziert wird . $\sigma_{11}\sigma_{22}$ $\Sigma$ $\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Unter der Annahme einer bivariaten Normalität können wir gemäß der Analyse unter https://stats.stackexchange.com/a/71303 Variablen in ändern

X_{1} = X, X_{2} = ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y

$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$

Dabei hat eine standardmäßige (unkorrelierte) bivariate Normalverteilung, und wir müssen nur berechnen $(X,Y)$

E (X^{2} (ρ X + (\sqrt{1 - ρ^{2}}) Y)^{2}) = E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y)

$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$

wobei der genaue Wert der Konstanten keine Rolle spielt. ( ist der Rest bei der Regression von gegen .) Verwenden der univariaten Erwartungen für die Standardnormalverteilung $c$ $Y$ $X_2$ $X_1$

E (X^{4}) = 3, E (X^{2}) = E (Y^{2}) = 1, E Y = 0

$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$

und Feststellung , dass und sind unabhängig Ausbeuten $X$ $Y$

E (ρ^{2} X^{4} + (1 - ρ^{2}) X^{2} Y^{2} + c X^{3} Y) = 3 ρ^{2} + (1 - ρ^{2}) + 0 = 1 + 2 ρ^{2} .

$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$

Multipliziert man dies durch gibt $\sigma_{11}\sigma_{22}$

E (X_{1}^{2} X_{2}^{2}) = σ_{11} σ_{22} + 2 σ_{12}^{2} .

$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$

Die gleiche Methode gilt für das Ermitteln der Erwartung eines Polynoms in , da es in und zu einem Polynom wird dass, wenn er expandiert ist , ein Polynom in den unabhängigen normalverteilte Variablen und . Von $(X_1,X_2)$ $(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$ $X$ $Y$

E (X^{2 k}) = E (Y^{2 k}) = \frac{(2 k)!}{k! 2^{k}} = π^{- 1 / 2} 2^{k} Γ (k + \frac{1}{2})

$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$

für das Integral (wobei alle ungeraden Momente durch Symmetrie gleich Null sind) können wir ableiten $k\ge 0$

E (X_{1}^{2 p} X_{2}^{2 q}) = (2 q)! 2^{- p - q} \sum_{i = 0}^{q} ρ^{2 i} (1 - ρ^{2})^{q - i} \frac{(2 p + 2 i)!}{(2 i)! (p + i)! (q - i)!}

$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$

(mit allen anderen Erwartungen an Monome gleich Null). Dies ist proportional zu einer hypergeometrischen Funktion (fast per Definition: Die Manipulationen sind nicht tief oder lehrreich).

\frac{1}{π} 2^{p + q} {(1 - ρ^{2})}^{q} Γ (p + \frac{1}{2}) Γ (q + \frac{1}{2})_{2} F_{1} (p + \frac{1}{2}, - q; \frac{1}{2}; \frac{ρ^{2}}{ρ^{2} - 1}) .

$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$

Die hypergeometrischen Funktionszeiten als multiplikative Korrektur für ungleich Null . $\left(1-\rho ^2\right)^q$ $\rho$

— whuber
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Danke für die ausführliche Antwort! Ich denke auch über verwandte Fragen mit anderen Polynomen nach, daher ist dies ein wirklich hilfreicher Rahmen. Das ist eine sehr clevere Transformation, die ich vorher noch nicht gesehen hatte. Cool!

— AGK

Um Ihre Untersuchung zu erleichtern, habe ich die Details für allgemeine Polynome angegeben. Als ich diese Antwort ursprünglich schrieb, war ich amüsiert zu erkennen, dass ich diese Transformation aus dem Lehrbuch für Grundstatistiken von Friedman, Pisani und Purves gelernt habe: Wir bringen dies Studienanfängern bei!

— whuber