Intrinsische räumliche Stationarität: Gilt das nicht nur für kleine Verzögerungen?

Aus der Definition der intrinsischen Stationarität:

$E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$

Diese Annahme wird beispielsweise beim normalen Kriging verwendet. Anstatt einen konstanten Mittelwert über den gesamten Raum anzunehmen, nehmen wir an, dass der Mittelwert lokal konstant ist.

Wenn der Mittelwert in einer Nachbarschaft konstant ist, erwarten wir logischerweise, dass die Differenz zwischen zwei Messungen nahe beieinander Null ist. Aber da der Mittelwert über den Raum variiert, erwarten wir nicht, dass die Differenz der weit voneinander entfernten Werte Null ist?

Sollte also nicht die Annahme einer intrinsischen Stationarität sein:

für h → $E[Z(x)-Z(x-h)] = 0$$h \to 0$

Ja und nein.

Ja

Ich erinnere mich, dass Andre Journel vor langer Zeit die Punkte betont hat, die

• Stationaritätsannahmen sind Entscheidungen des Analytikers darüber, welche Art von Modell verwendet werden soll. Sie sind keine inhärenten Eigenschaften des Phänomens.

• Solche Annahmen sind robust gegenüber Abfahrten, da Kriging (zumindest wie vor mehr als 20 Jahren praktiziert) fast immer ein lokaler Schätzer war, der auf der Auswahl von Daten in der Nähe in bewegten Suchvierteln basierte.

Diese Punkte stützen den Eindruck, dass die intrinsische Stationarität eine rein lokale Eigenschaft ist, indem sie darauf hinweisen, dass sie in der Praxis nur innerhalb einer typischen Suchumgebung und dann nur annähernd gelten muss.

Nein

$|h|$$h$

$Z$

$$Z(x) = U\text{ if } x \lt 0;\ Z(x) = -U\text{ otherwise }$$

$U$$u$$x$$-u$$x$

$x$$h$

$$E(Z(x)-Z(x-h)) = E(Z(x)) - E(Z(x-h)) = E(\pm U) - E(\pm U) = 0 - 0 = 0$$

$U\ne -U$$0$

Deutung

$Z(x)-Z(x-h)$

$x$$x$Vorhersagen aus stationären Modellen werden auch vom globalen Verhalten beeinflusst. Eine Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, sich daran zu erinnern, dass der Mittelwert eines intrinsischen Prozesses unbestimmt ist. Infolgedessen schwanken Vorhersagen, die aus einem angenommenen intrinsischen Modell abgeleitet wurden, tendenziell um einen lokalen Durchschnitt. Im Gegensatz dazu tendieren aus einem angenommenen stationären Modell abgeleitete Vorhersagen dazu, in Bereichen, in denen die Daten spärlich sind, zum globalen Mittelwert des angenommenen Modells zurückzukehren. Welche dieser beiden Verhaltensweisen natürlicher ist, hängt vom wissenschaftlichen Kontext ab, in dem die Modelle verwendet werden.

Kommentar

$E([Z(x)-Z(x-h)]^{2})$$0$$h\to 0$$Z^\prime$

$$E([Z(x)-Z(x-h) - h Z^\prime(x)]^{2}) = O(h^2)$$

$x$$Z^\prime$

Verweise

Peter J. Diggle und Paulo J. Ribeiro Jr., Modellbasierte Geostatistik . Springer (2007)