Interessante Ableitung von R im Quadrat

Vor Jahren fand ich diese Identität durch Experimente mit Daten und Transformationen. Nachdem er es meinem Statistikprofessor erklärt hatte, kam er mit einem einseitigen Proof in Vektor- und Matrixnotation in die nächste Klasse. Leider habe ich das Papier verloren, das er mir gegeben hat. (Dies war im Jahr 2007)

Kann jemand einen Beweis rekonstruieren?

Sei Ihre ursprünglichen Datenpunkte. Definieren Sie einen neuen Satz von Datenpunkten, indem Sie den ursprünglichen Satz um den Winkel drehen . nenne diese Punkte . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Der R-Quadrat-Wert des ursprünglichen Satzes von Punkten ist gleich dem negativen Produkt der Ableitung in Bezug auf des natürlichen Logarithmus der Standardabweichung für jede Koordinate des neuen Satzes von Punkten, die jeweils mit bewertet werden $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
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\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = - - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = 0} & = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d s_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = - - 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d s_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = 0} = 2 s_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (s_{x^{'}}) |}_{θ = 0} = - - \frac{s_{x y}}{s_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (s_{y^{'}}) |}_{θ = 0} = \frac{s_{x y}}{s_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$

Ich bin neugierig zu wissen, wie Sie auf eine solche Gleichung gekommen sind, insbesondere welches Experiment diese Identität enthüllt hat.

— Khashaa
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Vielen Dank! Dies ist tatsächlich viel einfacher als sein Beweis, an den ich mich erinnere. Die Identität entstand, indem man Jahre zuvor nur mit Daten spielte. Für Tritte mache ich nur Rotationen, Standardabweichungen, Ableitungen, Logarithmen, Addieren, Multiplizieren usw. Ich hatte das ursprüngliche r ^ 2 als horizontale Linie und zeichnete jede Funktion auf, die als Funktion von Theta erzeugt wurde. Manchmal kreuzten sie sich, aber in "seltsamen" Winkeln; manchmal nie gekreuzt. Dann kreuzten sie sich irgendwie bei Theta = Null. Ich fand das interessant. Getestet mit anderen zufälligen Daten und es hielt immer noch. Ich habe nicht gesehen, wie es funktioniert, dachte aber an eine ordentliche Identität.

— Sheppa28