Welche Logik steckt hinter der Methode der Momente?

Warum setzen wir in "Methode der Momente" Stichprobenmomente mit Bevölkerungsmomenten gleich, um den Punktschätzer zu finden?

Wo steckt die Logik dahinter?

intuition method-of-moments

— Benutzer 31466
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Es wäre schön, wenn wir einen Physiker in unserer Gemeinde hätten, der sich um diesen kümmert.

— mugen

@mugen, ich sehe keinerlei Beziehung zur Physik.

— Aksakal

@Aksakal sie nutzen Momente der Funktionen auch in der Physik, und es ist immer schön, wenn jemand eine Parallele zur besseren Interpretation macht.

— mugen

Wie in dieser Antwort erwähnt , liefert das Gesetz der großen Zahlen eine Rechtfertigung (wenn auch asymptotisch) für die Schätzung eines Bevölkerungsmoments anhand eines Stichprobenmoments, was zu (oft) einfachen, konsistenten Schätzern führt

— Glen_b -Reinstate Monica

Ist es nicht die ganze Idee, die Parameter mithilfe von Momenten darzustellen? Wenn Sie beispielsweise versuchen, den Parameter der Poisson-Verteilung zu schätzen, können Sie ihn als Schätzer für Ihren Parameter Lambda verwenden, indem Sie den Mittelwert (ersten Moment) ermitteln.

— denis631

Antworten:

Ergodisch ist eine Stichprobe bestehend aus Realisierungen aus gleich und unabhängig verteilten Zufallsvariablen. In einem solchen Fall sind "Stichprobenmomente" konsistente Schätzer theoretischer Momente der gemeinsamen Verteilung, wenn die theoretischen Momente existieren und endlich sind. $n$

Das bedeutet, dass

\begin{matrix} (1) & {\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) + e_{k} (n), e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0 \end{matrix}

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) + e_k(n), \;\;\; e_k(n) \xrightarrow{p} 0 \tag{1}$

Indem wir also das theoretische Moment mit dem entsprechenden Beispielmoment gleichsetzen, das wir haben

{\hat{μ}}_{k} (n) = μ_{k} (θ) \Rightarrow \hat{θ} (n) = μ_{k}^{- 1} ({\hat{μ}}_{k} (n)) = μ_{k}^{- 1} [μ_{k} (θ) + e_{k} (n)]

$\hat \mu_k(n) = \mu_k(\theta) \Rightarrow \hat \theta(n) = \mu_k^{-1}(\hat \mu_k(n)) = \mu_k^{-1}[\mu_k(\theta) + e_k(n)]$

Also ( hängt nicht von ) $\mu_k$ $n$

plim \hat{θ} (n) = plim [μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + e_{k})] = μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + plim e_{k} (n))

$\text{plim} \hat \theta(n) = \text{plim}\big[\mu_k^{-1}(\mu_k(\theta) + e_k)\big] = \mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + \text{plim}e_k(n)\big)$

= μ_{k}^{- 1} (μ_{k} (θ) + 0) = μ_{k}^{- 1} μ_{k} (θ) = θ

$=\mu_k^{-1}\big(\mu_k(\theta) + 0\big) = \mu_k^{-1}\mu_k(\theta) = \theta$

Das machen wir, weil wir konsistente Schätzer für die unbekannten Parameter erhalten.

— Alecos Papadopoulos
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was bedeutet "plim" Ich kenne "p" in

e_{k} (n) \overset{p}{\to} 0

$e_k(n) \xrightarrow{p} 0$

— Benutzer 31466

@ Leaf Wahrscheinlichkeitsgrenze

— Alecos Papadopoulos

Was würde passieren, wenn es ein reguläres Limit anstelle eines Wahrscheinlichkeitslimits wäre?

— Benutzer 31466

Es würde uns sagen , dass der Schätzer wird eine konstante, nicht , dass es probabilistically einem tendiert. Vielleicht sollten Sie die Konvergenzmodi von Zufallsvariablen nachschlagen, wikipedia hat eine anständige Einführung, en.wikipedia.org/wiki/Convergence_of_random_variables

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Einverstanden. Ich frage mich dann, ob es Sinn macht, etwas Einfaches wie "... und unter bestimmten Bedingungen auf " zu setzen?

μ_{k}

$\mu_k$

— Jerome Baum

Ökonomen nennen dies "das Analogieprinzip". Sie berechnen den Populationsmittelwert als den erwarteten Wert in Bezug auf die Populationsverteilung. Sie berechnen den Schätzer als den erwarteten Wert in Bezug auf die Stichprobenverteilung und es stellt sich heraus, dass es sich um den Stichprobenmittelwert handelt. Sie haben einen einheitlichen Ausdruck in den Sie entweder die Grundgesamtheit einfügen, sagen wir oder die Stichprobe , so dass ein Bündel von Delta ist -Funktionen und das (Lebesgue-) Integral in Bezug auf

T (F) = \int t (x) d F (x)

$T(F) = \int t(x) \, {\rm d}F(x)$

F (x)

$F(x)$

F (x) = \int_{\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} \exp [- \frac{(u - μ)^{2}}{2 σ^{2}}] d u

$F(x) = \int_{\infty}^x \frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\bigl[ - \frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2} \bigr] \, {\rm d}u$

F_{n} (x) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 {x_{i} \leq x}

$F_n(x) = \frac 1n \sum_{i=1}^n 1\{ x_i \le x \}$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$

d F_{n} (x)

${\rm d}F_n(x)$ ist die Beispielsumme . Wenn Ihr funktionales (schwach) differenzierbar ist und im entsprechenden Sinne gegen konvergiert , ist es leicht festzustellen, dass die Schätzung konsistent ist, obwohl natürlich mehr Hoopla erforderlich ist erhalten sagen asymptotische Normalität.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} t (x_{i})

$\frac1n \sum_{i=1}^n t(x_i)$

T (\cdot)

$T(\cdot)$

F_{n} (x)

$F_n(x)$

F (x)

$F(x)$

— StasK
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Ich habe dieses sogenannte "Analogieprinzip" nicht gehört, aber es ist in der Tat ein häufig verwendetes ökonometrisches Analysemuster: Schließen Sie den Stichprobenschätzer an, wenn der Populationsparameter benötigt wird, aber unbekannt ist.

— Aksakal

@Aksakal: "Stecken Sie den Stichprobenschätzer ein, wenn der Populationsparameter benötigt wird, aber unbekannt ist." Wird dieser Ansatz nicht einfach als Statistik bezeichnet?

— user603

@ user603: Nein, nicht. Es gibt andere alternative Ansätze, und Einschätzer für die Einfügung können schlecht sein.

— kjetil b halvorsen