Was wäre ein Beispiel für ein wirklich einfaches Modell mit einer unlösbaren Wahrscheinlichkeit?

Die ungefähre Bayes'sche Berechnung ist eine wirklich coole Technik, um im Grunde jedes stochastische Modell anzupassen, das für Modelle gedacht ist, bei denen die Wahrscheinlichkeit schwer zu bestimmen ist (Sie können beispielsweise aus dem Modell eine Stichprobe ziehen, wenn Sie die Parameter festlegen , die Wahrscheinlichkeit jedoch nicht numerisch, algorithmisch oder analytisch berechnen können). Wenn man einem Publikum eine ungefähre Bayes'sche Berechnung (ABC) vorstellt, ist es schön, ein Beispielmodell zu verwenden, das wirklich einfach, aber dennoch etwas interessant ist und eine unlösbare Wahrscheinlichkeit hat.

Was wäre ein gutes Beispiel für ein wirklich einfaches Modell, das immer noch eine unlösbare Wahrscheinlichkeit hat?

— Rasmus Bååth
quelle

Ihr Socken Beispiel ist wirklich einfach und meistens schwer zu handhaben ...

— Xi'an

Ps: Die Socken Beispiel Link ...

— Xi'an

Nun, ich hatte gehofft, dass die Socken unlösbar werden, aber Sie haben bewiesen, dass es nicht so ist, oder? :)

— Rasmus Bååth

Das ist eine gute Frage! Es gibt verschiedene Spielzeugbeispiele in der Literatur, aber sie fühlen sich für mich ein bisschen künstlich an. Es wäre schön, ein wirklich einfaches Modell zu haben, das durch eine reale Anwendung mit einer unlösbaren Wahrscheinlichkeit motiviert ist. Ich scheine mich zu erinnern, David Cox etwas in dieser Richtung präsentiert zu haben, aber ich habe es nicht veröffentlicht gesehen ...

— Dennis Prangle

Antworten:

Zwei in der Literatur häufig verwendete Verteilungen sind:

Die g-und-k-Verteilung. Dies wird durch seine Quantilfunktion (inverse cdf) definiert, hat aber eine unlösbare Dichte. Rayner und MacGillivray (2002) geben einen guten Überblick darüber, und eines von vielen ABC-Papieren, die es als Spielzeugbeispiel verwenden, sind Drovandi und Pettitt (2011) .
Alpha stabile Distributionen. Diese sind durch ihre charakteristische Funktion definiert, haben aber bis auf einige Sonderfälle eine unlösbare Dichte. Dies hat Anwendungen im Finanzbereich und wird häufig in sequentiellen ABC-Papieren verwendet, zum Beispiel Yildirim et al. (2013) .

— Dennis Prangle
quelle

Die g-und-k-Verteilung ist ein sehr gutes Beispiel, bei dem die Quantilfunktion einfach ausgedrückt werden kann, während die Wahrscheinlichkeitsfunktion überhaupt nicht verfügbar ist: Die -stable-Verteilungen sind für Neulinge weniger einfach zu erklären.

Q (u; A, B, g, k) = A + B [1 + c \frac{1 - \exp {- g Φ (u)}}{1 + \exp {- g Φ (u)}}] {1 + Φ (u)^{2}}^{k} Φ (u)

$Q(u;A,B,g,k)=A + B\left[1+c\dfrac{1-\exp\{-g\Phi(u)\}}{1+\exp\{-g\Phi(u)\}}\right]\{1+\Phi(u)^2\}^k\Phi(u)$

α

$\alpha$

— Xi'an

Könnte jemand Beispiele für Situationen hinzufügen, die man mit diesen Verteilungen modellieren würde?

— Vermutungen

Ein Beispiel, das ich vor ein paar Wochen habe und das der Einfachheit halber sehr ähnlich ist, ist das folgende: Unter der eines normalen Originaldatensatzes die gemeldeten Daten bestehen (leider!) aus der zweidimensionalen Zusammenfassung was nicht ausreicht und keine geschlossene Form der Fugendichte aufweist.

x_{1}, \dots, x_{n} \overset{iid}{\sim} N (θ, σ^{2}),

$x_1,\ldots,x_n\stackrel{\text{iid}}{\sim}\text{N}(\theta,\sigma^2)\,,$

S (x_{1}, \dots, x_{n}) = (med (x_{1}, \dots, x_{n}), mad (x_{1}, \dots, x_{n})),

$S(x_1,\ldots,x_n)=(\text{med}(x_1,\ldots,x_n),\text{mad}(x_1,\ldots,x_n))\,,$

— Xi'an
quelle

Nur weil die Fugendichte kompliziert aufzuschreiben ist, heißt das nicht, dass sie keine geschlossene Form hat! "Intractable" scheint in diesem Thread eine Ansichtssache zu sein. Vielleicht könnten Sie das klären, indem Sie erklären, was Sie mit "unlösbar" meinen?

— whuber

Da ich niemanden tue, der diese Dichte berechnen kann, nenne ich sie unlösbar ... Da ich kein Computerprogramm habe, das den numerischen Wert dieser Wahrscheinlichkeit erzeugen kann, bin ich gezwungen, einen ABC-Algorithmus zu verwenden.

— Xi'an

L (θ | x_{1}, \dots, x_{n})

$L(\theta|x_1,\ldots,x_n)$

\times

$\times$

@whuber Ich denke, Ihre Interpretation (2) im Kommentaranfang "Was ich mich wundere" ist zumindest im Wesentlichen die beabsichtigte. Ich verstehe Ihre letzte Bemerkung jedoch nicht, "es sei denn, die Ausführung Ihres ABC-Algorithmus dauert lange" - der Punkt der Frage ist, dass die teure Wahrscheinlichkeitsbewertung durch die Verwendung von ABC vermieden wird.

— Juho Kokkala