Formel für gewichtete einfache lineare Regression

Diese Wiki-Seite Einfache lineare Regression enthält Formeln zur Berechnung von und . Kann mir jemand sagen, wie man die Formeln in gewichteten Fällen ableitet?$\alpha$$\beta$

Stellen Sie sich gewöhnliche kleinste Quadrate (OLS) als "Black Box" vor, um sie zu minimieren

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

für eine Datentabelle, deren Zeile das Tupel .$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

Wenn es Gewichte gibt, die notwendigerweise positiv sind, können wir sie als schreiben . Per Definition werden gewichtete kleinste Quadrate minimiert$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

Aber genau das minimiert die OLS-Blackbox, wenn die Datentabelle aus den "gewichteten" Tupeln . Also, auf diese gewichtete Tupel , die die OLS Formeln Anwendung gibt die Formeln , die Sie suchen.$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$