Was sind der Mittelwert und die Varianz für die Gammaverteilung?

Es gibt zwei Formen für die Gamma-Verteilung mit jeweils unterschiedlichen Definitionen für die Form- und Skalierungsparameter. Anstatt zu fragen, welches Formular für die Implementierung von gsl_ran_gamma verwendet wird , ist es wahrscheinlich einfacher, nach den zugehörigen Definitionen für den Mittelwert und die Standardabweichung in Bezug auf die Form- und Skalierungsparameter zu fragen.

Hinweise auf Definitionen sind willkommen.

gamma-distribution

— Aengus
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Mehrdeutige (oder fehlende) Dokumentation ist eine rote Fahne, da sie darauf hindeutet, dass die Implementierer zu unerfahren sind, um zu wissen, dass es unterschiedliche Konventionen gibt und dass ihre eine detaillierte Dokumentation benötigen. Daher sollten Sie nicht nur herausfinden, welche Konvention verwendet wird, sondern auch gründliche Tests der Implementierung durchführen.

— whuber

@whuber: Die Dokumentation gibt die Form des PDF explizit an. In diesem Fall ist das angegebene Formular das gleiche wie das, das beispielsweise in Wikipedia verwendet wird.

— Kardinal

@whuber: Die GSL-Dokumentation ist klar und eindeutig; Benutzerfehler. Die HTML-Version, die ich erhalten hatte, war so klar, dass ich kein Problem vermutete.

— Aengus

@ Kardinal Danke. Mein Kommentar wurde allgemein formuliert, aber speziell auf Googeln geantwortet, um Informationen zu "gsl_ran_gamma" zu erhalten. Die erste Hälfte der Treffer enthielt nur die vage Art von Dokumentation (und die zweite Hälfte der Seite enthielt eine Reihe von Fehlerberichten, wenn auch alte). Vielleicht könnten Sie einen Link zum PDF für die Aufzeichnung bereitstellen?

— whuber

@whuber: Ich hatte in den Kommentaren einen Verweis auf die Antwort gesetzt. Aber es ist derzeit unter der Falte versteckt. Die Dokumentation zur Gammaverteilung finden Sie auf Seite 230 des aktuellen Referenzhandbuchs der GNU Scientific Library .

— Kardinal

Antworten:

Wenn der Formparameter und die Skala , hat eine Parametrisierung eine Dichtefunktion $k>0$ $\theta>0$

p (x) = x^{k - 1} \frac{e^{- x / θ}}{θ^{k} Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ e^{-x/\theta} }{\theta^{k} \Gamma(k)}$

wobei das Argument nicht negativ ist. Eine Zufallsvariable mit dieser Dichte hat den Mittelwert und die Varianz (diese Parametrisierung wird auf der Wikipedia-Seite über die Gammaverteilung verwendet). $x$ $k \theta$ $k \theta^{2}$

Eine alternative Parametrisierung verwendet als Ratenparameter (inverser Skalenparameter) und hat Dichte $\vartheta = 1/\theta$

p (x) = x^{k - 1} \frac{ϑ^{k} e^{- x ϑ}}{Γ (k)}

$p(x) = x^{k-1} \frac{ \vartheta^{k} e^{-x \vartheta} }{\Gamma(k)}$

Bei dieser Auswahl ist der Mittelwert und die Varianz ist . $k/\vartheta$ $k/\vartheta^{2}$

— Makro
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Danke für die schnelle Antwort; Irgendeine Idee, welche Form in gsl_ran_gamma verwendet wird?

— Aengus

Nein, aber Sie könnten einfach einige für bestimmte Werte der Form und des Maßstabs simulieren und sehen, ob der Stichprobenmittelwert näher an oder .

k θ

$k \theta$

k / ϑ

$k/\vartheta$

— Makro

@Aengus: Gemäß der Dokumentation verwendet GSL die Parametrisierung mit dem Mittelwert . In der Notation der Dokumentation wäre der Mittelwert .

k θ

$k\theta$

a b

$ab$

— Kardinal

@ Cardinal: Vielen Dank, das habe ich in der Dokumentation nicht gesehen. Ich schätze die Antwort sehr, aber können Sie mich auf einen Link usw. hinweisen? Meine Suche nach gsl_ran_gamma war ziemlich unbefriedigend. Die Antwort absolut nicht in Frage stellen, aber nur damit ich nicht noch einmal etwas so Einfaches frage.

— Aengus

@Aengus: Abschnitt 20.14 der GSL 1.14-Dokumentation (Postscript) habe ich mir angesehen. Es befindet sich auf Seite 229. Ich bin mir nicht sicher, ob dies die neueste Version ist, da sie aus dem März 2010 stammt.

— Kardinal

Zusätzlich zu dem, was Macro gesagt hat, gibt es eine dritte Form für die Gammaverteilung mit einem Formparameter und einem mittleren Parameter $v$ $\mu$

$p(x\mid \mu,v) = constant \times x^{\frac{v-2}{2}} e^{-\frac{xv}{2\mu}}$

wenn dann ist und $x \sim G(\mu,v)$ $E(x) = \mu$ $var(x) =\dfrac{2\mu^2}{v}$

— Anas Alhashimi
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