Beziehung zwischen Gamma und Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn

Y. = \sum_{ich = 1}^{N} X_{ich}^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$ wobei

X_{i} \sim N (0, σ^{2})

$X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ , dh alle

X_{i}

$X_i$ sind, bedeuten normale Zufallsvariablen von Null mit gleichen Varianzen, dann

Y. \sim Γ (\frac{N}{2}, 2 σ^{2}) .

$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$

Ich weiß, dass die Chi-Quadrat-Verteilung ein Sonderfall der Gamma-Verteilung ist, konnte aber die Chi-Quadrat-Verteilung für die Zufallsvariable nicht ableiten $Y$ . Hilfe, bitte?

chi-squared gamma-distribution

— kaka
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Etwas Hintergrund

Die Verteilung wird die Verteilung definiert , dass Ergebnisse aus Summieren die Quadrate von unabhängigen Zufallsvariablen , so: wobei $\chi^2_n$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

If X_{1}, \dots, X_{n} \sim N (0, 1) and are independent, then Y_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} \sim χ_{n}^{2},

$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$

X \sim Y

$X\sim Y$ bedeutet, dass die Zufallsvariablen

und

die gleiche Verteilung haben (EDIT: sowohl eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden als auch eine Zufallsvariable mit einer solchen Verteilung ). Nun ist das pdf der

Verteilung

X

$X$

Y

$Y$ $\chi_n^2$ $n$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Die

-Verteilung istalso in der Tatein Sonderfall der

-Verteilung mit pdf

f_{χ^{2}} (x; n) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{x}{2}}, zum x \geq 0 (und 0 Andernfalls).

$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$

Γ (p, a)

$\Gamma(p,a)$

Nun ist es klardass

f_{Γ} (x; a, p) = \frac{1}{a^{p} Γ (p)} x^{p - 1} e^{- \frac{x}{a}}, for x \geq 0 (and 0 otherwise).

$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$

χ_{n}^{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2)

$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Dein Fall

Der Unterschied in Ihrem Fall besteht darin, dass Sie normale Variablen mit gemeinsamen Varianzen . In diesem Fall ergibt sich jedoch eine ähnliche Verteilung: $X_i$ $\sigma^2\neq1$

Y_{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = σ^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{X_{i}}{σ})}^{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y

$Y$

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y_{2} = σ^{2} Y_{1}

$Y_2=\sigma^2Y_1$

f_{σ^{2} χ^{2}} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

Y_{2} \sim Γ (\frac{n}{2}, 2 σ^{2})

$Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$

σ^{2}

$\sigma^2$

a

$a$

Hinweis

$\chi^2_n$ $\sigma^2\neq1$ $\chi_1^2$ $\chi^2_n$

— epsilone
quelle

Y_{2} \sim σ^{2} χ_{n}^{2},

$Y_2\sim\sigma^2\chi_n^2,$

Y_{2} = σ^{2} U,

$Y_2=\sigma^2U,$

U \sim χ_{n}^{2} .

$U\sim\chi_n^2.$

f_{σ^{2} U} (x; n) = f_{χ^{2}} (\frac{x}{σ^{2}}; n) \frac{1}{σ^{2}} .

$f_{\sigma^2 U}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$

— kaka

Thanks @kaka. On the first point, actually with the notation

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi_n^2$ I am referring to the random variable that arises when you multiply a

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ variable by

σ^{2}

$\sigma^2$ , so both of us are saying the same... On the second point, recall that

f_{χ^{2}} (x; n)

$f_{\chi^2}(x;n)$ is the notation I used to refer to the density of a

χ_{n}^{2}

$\chi^2_n$ (the parameter

n

$n$ appears as a second argument). With your notation, the density of

σ^{2} χ_{n}^{2}

$\sigma^2\chi^2_n$ will read as

f_{χ_{n}^{2}} (x; n)

$f_{\chi_n^2}(x;n)$ , which is also OK, but you are repeating twice the

n

$n$ .

— epsilone

But in the very first equation you defined

X_{n}^{2}

$\mathcal{X}_n^2$ as a distribution of

\sum_{i = 1}^{N} X_{i}^{2} .

$\sum_{i=1}^N X_i^2.$

— kaka

Yes, and in the equation for

Y_{2}

$Y_2$ the

X_{i}

$X_i$ 's have variance

σ^{2}

$\sigma^2$ , so

\frac{X_{i}}{σ}

$\frac{X_i}{\sigma}$ is like

X_{i}

$X_i$ in the first equation.

— epsilone

χ_{n}^{2}

$\chi_n^2$ denotes the Chi squared distribution function with

n

$n$ degrees of freedom and also a random variable that follows such distribution. This is maybe an abuse of notation, but the meaning should be clear. I will edit the answer to clarify it nevertheless.

— epsilone