Ein Beweis für die Stationarität eines AR (2)

Man betrachte einen mittelzentrierten AR (2) -Prozess wobei der Standardprozess für weißes Rauschen ist. Lassen Sie mich der Einfachheit halber und . Ich konzentriere mich auf die Wurzeln der Charakteristikgleichung und Die klassischen Bedingungen in den Lehrbüchern lauten wie folgt: Ich habe versucht, die Ungleichungen auf den Wurzeln, dh dem System mit Hilfe von Mathematica manuell zu lösen. erhält gerade

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ $\epsilon_t$$\phi_1=b$$\phi_{2}=a$ $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ Kann die dritte Bedingung ( ) immer die letzten beiden Lösungen miteinander Hinzufügen erholen werden , dass durch einige Zeichen Erwägungen wird ? Oder fehlt mir eine Lösung?a + b + a - b < 2 ⇒ a < 1 | a | < $|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

Ich vermute, dass die charakteristische Gleichung, von der Sie abweichen, sich von meiner unterscheidet. Lassen Sie mich in ein paar Schritten überprüfen, ob wir uns einig sind.

Betrachten Sie die Gleichung

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Wenn eine Wurzel der "Standard" -Kennliniengleichung und , erhält die Anzeige durch Umschreiben der Standardgleichung folgende Ergebnisse: Daher ist eine alternative Bedingung für die Stabilität eines dass sich alle Wurzeln der ersten Anzeige innerhalb des Einheitskreises befinden, .$z$$1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$$z^{-1}=\lambda$

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ $AR(2)$$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$

Wir verwenden diese Darstellung, um das Stationaritätsdreieck eines -Prozesses abzuleiten, dh , dass ein stabil ist, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: $AR(2)$$AR(2)$

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Denken Sie daran, dass Sie die Wurzeln der ersten Anzeige (falls vorhanden) als schreiben können, um die zu finden erste zwei Bedingungen.

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$

Dann ist der stationär, wenn , also (wenn real ist): Der größere der beiden ist begrenzt durch , oder: Analog .$AR(2)$$|\lambda|<1$$\lambda_i$

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ $\lambda_i$$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$ $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ $\phi_2<1 + \phi_1$

Wenn komplex ist , dann und soDer Quadratmodul einer komplexen Zahl ist das Quadrat des Realteils plus das Quadrat des Imaginärteils. Daher ist Dies ist stabil, wenn , also wenn oder , wie gezeigt werden sollte. (Die sich aus ergebende Einschränkung ist im Hinblick auf und redundant .)$\lambda_i$$\phi_1^2<-4\phi_2$

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$$\phi_2^2<1$$\phi_2<1+\phi_1$$\phi_2<1-\phi_1$

Das Zeichnen des Stationaritätsdreiecks, das auch die Linie angibt, die komplexe von realen Wurzeln trennt, erhalten wir

Produziert in R mit

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)