Determinante der Fisher-Information

(Ich habe eine ähnliche Frage auf math.se gestellt .)

In der Informationsgeometrie ist die Determinante der Fisher-Informationsmatrix eine natürliche Volumenform auf einer statistischen Mannigfaltigkeit, daher hat sie eine schöne geometrische Interpretation. Die Tatsache, dass es beispielsweise in der Definition eines Jeffreys vorkommt, hängt mit seiner Invarianz unter Reparametrisierungen zusammen, die (imho) eine geometrische Eigenschaft ist.

Was ist das für eine Determinante in der Statistik ? Misst es etwas Sinnvolles? (Zum Beispiel würde ich sagen, wenn es Null ist, dann sind die Parameter nicht unabhängig. Geht das noch weiter?)

Gibt es auch eine geschlossene Form, um es zu berechnen, zumindest in einigen "einfachen" Fällen?

In vielen Beispielen ist die Inverse der Fischerinformationsmatrix die Kovarianzmatrix der Parameterschätzungen $\hat{\beta}$genau oder ungefähr. Oft gibt es diese Kovarianzmatrix asymptotisch. Die Determinante einer Kovarianzmatrix wird häufig als generalisierte Varianz bezeichnet.

Die Determinante der Fisher-Informationsmatrix ist also die Umkehrung dieser verallgemeinerten Varianz. Dies kann im experimentellen Design verwendet werden, um optimale Experimente zu finden (zur Parameterschätzung). In diesem Zusammenhang wird dies als D-Optimalität bezeichnet, die über eine riesige Literatur verfügt. also google nach "D-optimales experimentelles design". In der Praxis ist es oft einfacher, die Determinante der inversen Kovarianzmatrix zu maximieren, aber dies ist offensichtlich dasselbe wie die Determinante ihrer Inversen zu minimieren.

Es gibt auch viele Beiträge auf dieser Seite, aber nur wenige haben gute Antworten. Hier ist eines: Experimentelles (faktorielles) Design, das die Varianz nicht ausnutzt