Kovarianz eines Zufallsvektors nach einer linearen Transformation

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Wenn ein Zufallsvektor und eine feste Matrix ist, könnte jemand erklären, warum $\mathbf {Z}$ $A$

c o v [A Z] = A c o v [Z] A^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

— user92612
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Für einen zufälligen (Spalten-) Vektor mit dem mittleren Vektor ist die Kovarianzmatrix definiert als . Somit ist die Kovarianzmatrix von , deren mittlerer Vektor ist, gegeben durch $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} cov (A Z) & = E [(A Z - A m) (A Z - A m)^{T}] \\ = E [A (Z - m) (Z - m)^{T} A^{T}] \\ = A E [(Z - m) (Z - m)^{T}] A^{T} \\ = A cov (Z) A^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— Dilip Sarwate
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1

Ich habe meinen Tippfehler korrigiert. Vielen Dank für den Hinweis auf meinen Fehler.

— user92612

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$\mathbf{Z}A^T$

c o v (Z A^{T}) = A c o v (Z) A^{T}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

\begin{aligned} c o v (Z A^{T}) & = E [(Z A^{T} - m A^{T}) (Z A^{T} - m A^{T})^{T}] \\ = E [(Z - m) A^{T} A (Z - m)^{T}] \\ = E [A (Z - m) (Z - m)^{T} A^{T}] \\ = A E [(Z - m) (Z - m)^{T}] A^{T} \\ = A c o v (Z) A^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

Using $AB^TBA^T=BAA^TB^T$ in step (3):

\begin{aligned} A B^{T} B A^{T} & = {({(A B^{T} B A^{T})}^{T})}^{T} \\ = {(B A^{T} A B^{T})}^{T} \\ = B {(B A^{T} A)}^{T} \\ = B A A^{T} B^{T} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Jan Kukacka
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