Erwartung eines quadratischen Gammas

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Wenn eine Gammaverteilung mit und parametrisiert ist , dann: $\alpha$ $\beta$

E (Γ (α, β)) = \frac{α}{β}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$

Ich möchte die Erwartung eines quadratischen Gammas berechnen, das heißt:

E (Γ (α, β)^{2}) = ?

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$

Ich denke es ist:

E (Γ (α, β)^{2}) = {(\frac{α}{β})}^{2} + \frac{α}{β^{2}}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$

Weiß jemand, ob dieser letztere Ausdruck richtig ist?

expected-value gamma-distribution

— Joshua
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Dies hing mit einer Simulationsstudie zusammen, an der ich arbeite, in der ich Standardabweichungen von einem Gamma zeichne, und wollte dann den Mittelwert der Varianzen (dh quadratische Gammas).

— Joshua

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Die Erwartung des Quadrats einer Zufallsvariablen ist ihre Varianz plus ihre Erwartungsquadrat als

$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$ .

Die Erwartung der wie oben parametrisierten Verteilung ist (wie Sie erwähnt haben), die Varianz ist , daher ist die Erwartung ihres Quadrats $\Gamma$ $\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

. $(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$

Das heißt: Sie haben Recht.

— Tamas Ferenci
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Ich schätze die Antwort, obwohl ich nicht sicher bin, ob ich Ihrer Gleichung folge - wenn Sie ihr durch D2 (X) folgen, entspricht dies D2 (X) + E (X) ^ 2

— Joshua

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[E (X)]^{2}

$[\mathbb{E}(X)]^2$

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f_{X} (x) = \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x}}{Γ (α)}, x > 0.

$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$

α, β > 0

$\alpha, \beta > 0$

\int_{x = 0}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1,

$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$

\int_{z = 0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- z} d z = Γ (z) .

$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$

k

$k$

\begin{aligned} E [X^{k}] & = \int_{x = 0}^{\infty} x^{k} f_{X} (x) d x \\ = \frac{1}{Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} β^{α} x^{α + k - 1} e^{- β x} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α + k} x^{α + k - 1} e^{- β x}}{Γ (α + k)} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$

1

$1$

α + k

$\alpha+k$

β

$\beta$

k = 2

$k = 2$

E [X^{2}] = \frac{Γ (α + 2)}{β^{2} Γ (α)} = \frac{(α + 1) α}{β^{2}} .

$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$

\begin{aligned} M_{X} (t) = E [e^{t X}] & = \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x + t x}}{Γ (α)} d x \\ = \frac{β^{α}}{(β - t)^{α}} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{(β - t)^{α} x^{α - 1} e^{- (β - t) x}}{Γ (α)} d x \\ = (\frac{β}{β - t})^{α}, t < β, \end{aligned}

$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$ where the condition on

t

$t$ is required for the integral to converge. We may rewrite this as

M_{X} (t) = (1 - t / β)^{- α},

$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$ and it follows that

E [X^{k}] = {[\frac{d^{k} M_{X} (t)}{d t^{k}}]}_{t = 0} = {[(1 - t / β)^{- α - k}]}_{t = 0} \prod_{j = 0}^{k - 1} \frac{α + j}{β} = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} .

$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$

— heropup
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Very clear, and helpful derivation.

— Joshua