unter einem Gaußschen

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Diese Frage geht aus der folgenden Frage hervor. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Grundsätzlich ist was das unter einem allgemeinen Gaußschen. Ich habe versucht,schreiben $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ als Skalar Mischung von Gaußfunktionen (). Dies kam auch zum Stillstand, es sei denn, Sie haben einen Trick unter Ihrem Gürtel. $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Wenn dieses Integral keine sinnvollen Grenzen analytisch ist?

normal-distribution expected-value bounds

— Sachinruk
quelle

Warum können Sie nicht dasselbe tun wie in der Frage, auf die Sie verlinkt haben? (was impliziert, dass es nicht analytisch ist (da es mit ein paar Konstanten zu

— erfc

Weil ich nicht ganz folge, was er getan hat. Auch erfc ist in Ordnung

— Sachinruk

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Sei sei das normalePDF und $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ seindie PDF einer StudenttVerteilung mit einem df Da die PDF eines normalenVariableIS( durch Symmetrie) ist die Erwartung gleich $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Dies ist die definierende Formel für die Faltung . Das grundlegendste Ergebnis der Fourier-Analyse ist, dass die Fourier-Transformation einer Faltung das Produkt von Fourier-Transformationen ist . Darüber hinaus sind charakteristische Funktionen (vgl.) (Bis zu geeigneten Vielfachen) Fourier-Transformationen von PDFs. Die cf eines normalen Verteilung ist $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

und der cf dieser Student t-Verteilung ist

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Beide können durch elementare Methoden erhalten werden.) Der Wert der inversen Fourier-Transformation ihres Produkts bei beträgt per Definition $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Die Berechnung ist elementar: Führen Sie sie zur Vereinfachung getrennt über die Intervalle und to bzw. und vervollständige das Quadrat jedes Mal. Man erhält Integrale, die der normalen CDF ähneln - jedoch mit komplexen Argumenten. Eine Möglichkeit, die Lösung zu schreiben, ist $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Hier ist die komplementäre Fehlerfunktion, wobei $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Ein Sonderfall ist für den sich dieser Ausdruck auf reduziert $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Zahl

— whuber
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\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

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\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

— fabelhaft
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1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

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Sie haben die Fehlerfunktion mit der Gaußschen CDF zusammengeführt: Sie sind nicht gleich. Versuchen Sie eine numerische Berechnung - Sie werden den Fehler sehen.

— whuber

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$