Welche Art von Verteilung ist ?

Was für eine Funktion ist:

$f_X(x) = 2 \lambda \pi x e^{-\lambda \pi x ^2}$

Ist das eine gemeinsame Verteilung? Ich versuche, ein Konfidenzintervall von mit dem Schätzer und ich bemühe mich, dies zu beweisen Schätzer hat asymptotische Normalität. $\lambda$ $\hat{\lambda}=\frac{n}{\pi \sum^n_{i=1} X^2_i}$

Vielen Dank

— Mitch
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Vielleicht hilft: Wenn Y exponentiell verteilt ist, dann ist X = Y ^ 2 mit f_X verteilt. Sie können einen Blick hier für die MLE von Y ...

— Teucer

@teucer, sorry, habe deinen Kommentar nicht gesehen, also habe ich praktisch die gleiche Antwort gepostet.

— mpiktas

Geben Sie immer an, dass die Frage mit Hausaufgaben zusammenhängt. Die Hausaufgaben müssen Sie lernen. Nur die richtige Antwort zu erhalten, hilft Ihnen nicht weiter und kann Sie auf lange Sicht sogar verletzen. Ich vermute, dass dies eine Hausaufgabe aus der Frage eines anderen Benutzers ist.

— mpiktas

@mpiktas, diese Frage bezog sich auf einen kleinen Teil eines Hausaufgabenproblems, aber ich habe die Frage nicht so formuliert, dass mir jemand einfach die Antwort sagen konnte. Es war meine Absicht, die Konzepte zu verstehen und dann meine Hausaufgaben selbst zu lösen.

— Mitch

@mpiktas Ja, ich weiß, dass Ihre Charakterisierung korrekt ist und die von Teucer nicht (obwohl sie drei positive Stimmen erhalten hat, obwohl der darin angegebene Link zu Wikipedia diese Behauptung nicht unterstützt). Ich bin es gewohnt, Zufallsvariablen mit Dichten der Form zu sehen, die als Rayleigh- Zufallsvariablen bezeichnet werden: Sie beschreiben den Abstand von der Ursprung des Punktes dem und unabhängige Zufallsvariablen sind.

\frac{r}{σ^{2}} \exp (- r^{2} / 2 σ^{2})

$\frac{r}{\sigma^2}\exp(-r^2/2\sigma^2)$

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

— Dilip Sarwate

Antworten:

Es ist eine Quadratwurzel der Exponentialverteilung mit der Rate . Dies bedeutet, dass wenn , dann . $\pi\lambda$ $Y\sim\exp(\pi\lambda)$ $\sqrt{Y}\sim f_X$

Da es sich bei Ihrer Schätzung um eine Maximum-Likelihood-Schätzung handelt , sollte sie asymptotisch normal sein. Dies folgt unmittelbar aus den Eigenschaften der Maximum-Likelihood-Schätzungen. In diesem speziellen Fall:

\sqrt{n} (\hat{λ} - λ) \to N (0, λ^{2})

$\sqrt{n}(\hat\lambda-\lambda)\to N(0,\lambda^2)$

schon seit

E \frac{\partial^{2}}{\partial λ^{2}} \log f_{X} (X) = - \frac{1}{λ^{2}} .

$E\frac{\partial^2}{\partial \lambda^2}\log f_X(X)=-\frac{1}{\lambda^2}.$

— mpiktas
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Warum interessieren Sie sich für Asymptotik, wenn die genaue Antwort genauso einfach (und genau) ist? Ich gehe davon aus, dass Sie eine asymptotische Normalität wünschen, damit Sie das Typ verwenden können $\mathrm{Est}\pm z_{\alpha}\mathrm{StdErr}$

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeitstransformation , haben Sie eine exponentielle Stichprobenverteilung (wie @mpiktas erwähnt hat): $Y_{i}=X_{i}^{2}$

f_{Y_{i}} (y_{i}) = f_{X_{i}} (\sqrt{y_{i}}) | \frac{\partial \sqrt{y_{i}}}{\partial y_{i}} | = 2 λ π \sqrt{y_{i}} \exp (- λ π {\sqrt{y_{i}}}^{2}) \frac{1}{2 \sqrt{y_{i}}} = λ π \exp (- λ π y_{i})

$\newcommand{\Gamma}{\mathrm{Gamma}} \newcommand{\MLE}{\mathrm{MLE}} \newcommand{\Pr}{\mathrm{Pr}} f_{Y_{i}}(y_{i})=f_{X_{i}}(\sqrt{y_{i}})|\frac{\partial\sqrt{y_{i}}}{\partial y_{i}}|=2 \lambda \pi \sqrt{y_{i}} \exp(-\lambda \pi \sqrt{y_{i}} ^2)\frac{1}{2\sqrt{y_{i}}}=\lambda\pi\exp(-\lambda\pi y_{i})$

Die gemeinsame Log-Wahrscheinlichkeit in Bezug auf wird also: $D\equiv\{y_{1},\dots,y_{N}\}$

\log [f (D | λ)] = N \log (π) + N \log (λ) - λ π \sum_{i = 1}^{N} y_{i}

$\log[f(D|\lambda)]=N\log(\pi)+N\log(\lambda)-\lambda\pi\sum_{i=1}^{N}y_{i}$

Die Daten werden nun nur noch über die Summe (und die Stichprobengröße ) in die Analyse . Nun ist es eine elementare Stichprobentheorie-Berechnung, um zu zeigen, dass und weiter . Wir können dies weiter zu einer "zentralen" Größe machen, indem wir aus den Gleichungen herausnehmen (auf die gleiche Weise, wie ich gerade in sie habe). Und wir haben: $T_{N}=\sum_{i=1}^{N}y_{i}$ $N$ $T_{N}\sim \Gamma(N,\pi\lambda)$ $\pi N^{-1}T_{N}\sim \Gamma(N,N\lambda)$ $\lambda$ $N$

λ π N^{- 1} T_{N} = \frac{λ}{{\hat{λ}}_{M L E}} \sim G a m m a (N, N)

$\lambda\pi N^{-1}T_{N}=\frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}}\sim \Gamma(N,N)$

Beachten Sie, dass wir jetzt eine Verteilung haben, an der die MLE beteiligt ist und deren Stichprobenverteilung unabhängig vom Parameter . Jetzt ist Ihre MLE gleich . Schreiben Sie also die Mengen und so, dass Folgendes gilt: $\lambda$ $\frac{1}{\pi N^{-1}T_{N}}$ $L_{\alpha}$ $U_{\alpha}$

P r (L_{α} < G < U_{α}) = 1 - α G \sim G a m m a (N, N)

$\Pr(L_{\alpha} < G < U_{\alpha})=1-\alpha\;\;\;\;\;\;\;G\sim \Gamma(N,N)$

Und dann haben wir:

P r (L_{α} < \frac{λ}{{\hat{λ}}_{M L E}} < U_{α}) = P r (L_{α} {\hat{λ}}_{M L E} > λ > U_{α} {\hat{λ}}_{M L E}) = 1 - α

$\Pr(L_{\alpha} < \frac{\lambda}{\hat{\lambda}_{\MLE}} < U_{\alpha})=\Pr(L_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE} > \lambda > U_{\alpha}\hat{\lambda}_{\MLE})=1-\alpha$

Und Sie haben ein genaues Konfidenzintervall für . $1-\alpha$ $\lambda$

HINWEIS: Die von mir verwendete Gammaverteilung ist der "Präzisions" -Stil, sodass eine -Dichte wie folgt aussieht: $\Gamma(N,N)$

f_{G a m m a (N, N)} (g) = \frac{N^{N}}{G a m m a (N)} g^{N - 1} \exp (- N g)

$f_{\Gamma(N,N)}(g)=\frac{N^{N}}{\Gamma(N)}g^{N-1}\exp(-Ng)$

— Wahrscheinlichkeitslogik
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Vielen Dank! Wirklich gute Antwort, aber ich musste eine normale Annäherung verwenden. Ich verstehe Ihre Lösung jedoch vollkommen und stimme ihr zu.

— Mitch