CDF zur Macht erhoben?

Wenn $F_Z$ eine CDF ist, sieht es so aus, als wäre ( ) ebenfalls eine CDF.$F_Z(z)^\alpha$$\alpha \gt 0$

F: Ist das ein Standardergebnis?

F: Gibt es einen guten Weg , um eine Funktion zu finden mit st , wobeiX ≡ g ( Z $g$$X \equiv g(Z)$$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$$x \equiv g(z)$

Grundsätzlich habe ich eine andere CDF in der Hand, . In einer reduzierten Form möchte ich die Zufallsvariable charakterisieren, die diese CDF erzeugt.$F_Z(z)^\alpha$

EDIT: Ich würde mich freuen, wenn ich ein Analyseergebnis für den Sonderfall . Oder zumindest wissen, dass ein solches Ergebnis nicht umsetzbar ist.$Z \sim N(0,1)$

Die anderen Antworten gefallen mir, aber die folgenden hat noch niemand erwähnt. Das Ereignis $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ tritt genau dann auf, wenn $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ , wenn also $U$ und $V$ unabhängig sind und $W = \mathrm{max}(U,V)$ , dann $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ so für$\alpha$ eine positive ganze Zahl (beispielsweise$\alpha = n$ ) nehmen$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ , wo die$Z$ ‚s sind iid

Für wir auf F Z = F n X umschalten , also wäre X diese Zufallsvariable, so dass das Maximum von n unabhängigen Kopien die gleiche Verteilung wie Z hat (und dies wäre keiner unserer bekannten Freunde) , allgemein). $\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$$n$$Z$

Der Fall von einer positiven rationalen Zahl (sagen wir α = m / n ) folgt aus dem vorhergehenden, da ( F Z ) m / n = ( F 1 / n Z ) m$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

Wählen Sie für irrational eine Folge positiver Rationalen a k, die gegen α konvergieren ; dann konvergiert die Sequenz X k (wo wir unsere obigen Tricks für jedes k verwenden können ) in der Verteilung zu dem gewünschten $\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

Dies ist möglicherweise nicht die gesuchte Charakterisierung, gibt aber zumindest eine Vorstellung davon, wie man über für α angemessen schön denkt . Andererseits bin ich mir nicht sicher, wie viel schöner es wirklich werden kann: Sie haben bereits die CDF, also gibt Ihnen die Kettenregel das PDF und Sie können Momente berechnen, bis die Sonne untergeht ...? Es ist wahr, dass die meisten Z kein X haben , das für α = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$ , aber wenn ich mit einem Beispiel herumspielen wollte, um nach etwas Interessantem zu suchen, könnte ich versuchen,Zgleichmäßig verteilt auf das Einheitsintervall mitF(z)=z,0<z<1.$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

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EDIT: Ich schrieb einige Kommentare in @JMS answer, und es gab eine Frage zu meiner Arithmetik, also schreibe ich auf, was ich damit gemeint habe, in der Hoffnung, dass es klarer ist.

@ Kardinal richtig im Kommentar zu @JMS Antwort schrieb, dass das Problem zu vereinfacht , oder allgemeiner, wenn Z nicht unbedingt N ( 0 , 1 ) ist , wir hat x = g - 1 ( y ) = F - 1 ( F α ( y ) )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ Mein Punkt war, dass wir , wenn eine schöne Umkehrfunktion hat, mit der Basisalgebra nur nach der Funktion y = g ( x ) auflösen können. Ich schrieb in der Bemerkung , dass g sein sollte y = g ( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) ) $F$$y = g(x)$$g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

Nehmen wir einen speziellen Fall, schließen Sie die Dinge an und sehen Sie, wie es funktioniert. Lasse haben eine Exp (1) -Verteilung, mit CDF F ( x ) = ( 1 - e - x ) , x > 0 , und inversen CDF F - 1 ( y ) = - ln ( 1 - y ) . Es ist einfach, alles anzuschließen, um g zu finden . nachdem wir fertig sind, erhalten wir y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ Zusammenfassend lautet meine Behauptung also, dass wenn X ∼ E x p ( 1 ) und wenn wir Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X) definieren ) 1 / α ) , dann hat Y eine CDF, die wie folgt aussieht: F Y ( y ) = $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ Wir können dies direkt beweisen (schauen Sie sichP(Y≤y) anund verwenden Sie die Algebra, um den Ausdruck zu erhalten, im vorletzten Schritt benötigen wir die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation). Nur in dem (oft wiederholten) Fall, dass ich verrückt bin, habe ich einige Simulationen durchgeführt, um zu überprüfen, ob es funktioniert, ... und es funktioniert. Siehe unten. Um den Code zu vereinfachen, habe ich zwei Fakten verwendet: Wenn  X ∼ F,  dann ist  U = F ( X ) ∼ U n i f ( 0 , 1 $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ $P(Y \leq y)$ $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

Die Darstellung der Simulationsergebnisse folgt.

Der R-Code, der zum Generieren des Plots verwendet wird (Minuszeichen), lautet

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Die Passform sieht ziemlich gut aus, finde ich? Vielleicht bin ich nicht verrückt (diesmal)?

Proof without words

The lower blue curve is $F$, the upper red curve is $F^\alpha$ (typifying the case $\alpha \lt 1$), and the arrows show how to go from $z$ to $x = g(z)$.

Q1) Yes. It's also useful for generating variables which are stochastically ordered; you can see this from @whuber's pretty picture :). $\alpha>1$ swaps the stochastic order.

That it's a valid cdf is just a matter of verifying the requisite conditions: $F_z(z)^\alpha$ has to be cadlag, nondecreasing and limit to $1$ at infinity and $0$ at negative infinity. $F_z$ has these properties so these are all easy to show.

Q2) Seems like it would be pretty difficult analytically, unless $F_Z$ is special