Anscombe-Transformation und normale Approximation

Die Anscombe-Transformation ist $a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$ .

Kann mir jemand zeigen, wie man beweisen kann, dass eine Anscombe-transformierte Version $Y = a(X)$ einer Poisson-verteilten Zufallsvariablen $X$ ungefähr normalverteilt ist (wenn $\lambda>4$ )?

distributions normal-distribution poisson-distribution

— MarkDollar
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Hinweis : Delta-Methode. (Schauen Sie auch nach varianzstabilisierenden Transformationen , was Teil der Motivation ist.)

— Kardinal

Danke Mpikts! Ich bin ganz ehrlich, ich verstehe nicht wirklich, wie ich anfangen soll. Was sind die Hauptwerkzeuge und der "Start", den ich brauche, um dies zu beweisen?

— MarkDollar

Hier ist eine Skizze eines Beweises, der drei Ideen kombiniert: (a) die Delta-Methode, (b) Varianzstabilisierungstransformationen und (c) den Abschluss der Poisson-Verteilung unter unabhängigen Summen.

$X_1, X_2, \ldots$ $\lambda > 0$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - λ) \overset{d}{\to} N (0, λ) .

$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$

Beachten Sie, dass die asymptotische Varianz vom (vermutlich unbekannten) Parameter abhängt . Es wäre schön, wenn wir eine andere Funktion der Daten als finden könnten, so dass sie nach dem Zentrieren und erneuten Skalieren unabhängig vom Parameter dieselbe asymptotische Varianz aufweisen . $\lambda$ $\bar{X}_n$ $\lambda$

Die Delta-Methode bietet eine praktische Möglichkeit, die Verteilung der glatten Funktionen einer Statistik zu bestimmen, deren Grenzverteilung bereits bekannt ist. Sei eine Funktion mit stetiger erster Ableitung, so dass . Dann wird nach der Delta-Methode (spezialisiert auf unseren speziellen Fall von Interesse) $g$ $g'(\lambda) \neq 0$

\sqrt{n} (g ({\bar{X}}_{n}) - g (λ)) \overset{d}{\to} N (0, λ g^{'} (λ)^{2}) .

$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$

Wie können wir also die asymptotische Varianz für alle möglichen konstant machen (z. B. den Wert ) ? Aus dem obigen Ausdruck wissen wir, dass wir lösen müssen $1$ $\lambda$

g^{'} (λ) = λ^{- 1 / 2} .

$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass das allgemeine Antiderivativ für jedes ist und die Grenzverteilung für die Wahl von (durch Subtraktion) unveränderlich ist , also können wir setzen ohne Verlust der Allgemeinheit. Eine solche Funktion wird als varianzstabilisierende Transformation bezeichnet . $g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$ $c$ $c$ $c = 0$ $g$

Daher schließen wir durch die Delta-Methode und unsere Wahl von , dass $g$

\sqrt{n} (2 \sqrt{{\bar{X}}_{n}} - 2 \sqrt{λ}) \overset{d}{\to} N (0, 1) .

$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$

Jetzt wird die Poisson-Verteilung unter unabhängigen Beträgen geschlossen. Wenn also Poisson mit dem Mittelwert , dann existieren Zufallsvariablen , die iid Poisson mit dem Mittelwert so dass die gleiche Verteilung wie . Dies motiviert die Annäherung bei einer einzelnen Poisson-Zufallsvariablen. $X$ $\lambda$ $Z_1, \ldots, Z_n$ $\lambda/n$ $\sum_{i=1}^n Z_i$ $X$

Was Anscombe (1948) fand, war, dass das Modifizieren der Transformation (leicht) in für eine Konstante für kleinere tatsächlich besser funktionierte . In diesem Fall ist ungefähr optimal. $g$ $\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$ $b$ $\lambda$ $b = 3/8$

Es ist zu beachten, dass diese Modifikation die wahre Varianzstabilisierungseigenschaft von "zerstört" , dh ist keine Varianzstabilisierung im engeren Sinne. Aber es ist nah und liefert bessere Ergebnisse für kleinere . $g$ $\tilde{g}$ $\lambda$

— Kardinal
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