Verteilung des Rayleigh-Quotienten

Für ein Forschungsprojekt muss ich den erwarteten Wert des verallgemeinerten Rayleigh-Quotienten finden: Hier sind A und B positiv definierte deterministische p x p- Kovarianzmatrizen, und w folgt einer multivariaten Verteilung mit kreisförmigen Höhenlinien (z. B. multivariate Standardnormalen). Die Dimension p ist größer als 100.

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$

Dieses Problem lässt sich mithilfe der Simulation leicht lösen. Ich habe mich jedoch gefragt, ob jemand wissen könnte, wie dieses Problem analytisch gelöst (oder angenähert) werden kann. Meine erste Idee war, dass nach dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg oder Lyapunov möglicherweise sowohl der Zähler als auch der Nenner ungefähr normalverteilt sind, was ein Verhältnis von zwei (korrelierten) normalen Zufallsvariablen ergibt, aber die Simulation zeigt, dass dies nicht der Fall ist.

distributions expected-value

— Statistiken
quelle

Wissen Sie noch etwas über die Beziehung zwischen

und

oder Eigenschaften, die über die positive Bestimmtheit hinausgehen? Unter einer bestimmten Interpretation der "Kreisverteilung" (dh invariant unter orthogonalen Transformationen) können wir wlog annehmen, dass entweder

oder

diagonal ist. Dafür ist auch keine Annahme einer positiven Bestimmtheit erforderlich.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— Kardinal

A und B sind Korrelationsmatrizen. Sie sind ziemlich ähnlich, aber nicht identisch.

— Statistik

Möglicherweise war meine Wahl der „Kreisverteilung“ nicht ideal. Was ich meine, ist eine elliptische Verteilung, bei der die Zufallsvariablen w_i unabhängig sind - zum Beispiel die Standardnormalverteilung.

— Statistik

Im Falle der Normalverteilung findet sich eine Lösung in Mathai und Provost, Quadratische Formen in Zufallsvariablen (1992). Die inversen und Produktmomente solcher quadratischen Formen werden dort aus der Momenterzeugungsfunktion abgeleitet.

$e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ $\xi$

— Horst Grünbusch
quelle