Stabile Verteilungen, die multipliziert werden können?

Stabile Verteilungen sind unter Windungen unveränderlich. Welche Unterfamilien der stabilen Verteilungen werden ebenfalls unter Multiplikation geschlossen? In dem Sinne, dass wenn und , dann die Produktwahrscheinlichkeitsdichtefunktion, (bis zu einer Normalisierungskonstante) auch zu ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Hinweis: Ich habe den Inhalt dieser Frage erheblich geändert. Aber die Idee ist im Wesentlichen dieselbe, und jetzt ist es viel einfacher. Ich hatte nur eine teilweise Antwort, also denke ich, dass es okay ist.

distributions convolution stable-distribution

— winko
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Wenn die Domäne begrenzt ist, müssen der Mittelwert und die Varianz (in der Tat alle Momente) endlich sein. Wie sicher sind Sie, dass es bekannte Distributionen gibt, die alle Bedingungen erfüllen?

— Glen_b -State Monica

@Glen_b Wenn es möglich ist zu beweisen, dass unter all diesen Bedingungen keine Verteilung existiert, akzeptiere ich eine Antwort mit diesem Beweis.

— Becko

Was genau ist "die" begrenzte Gleichverteilung in (5)? Ist es eine Verteilung (und wenn ja, welche Parameter gibt es) oder handelt es sich um eine Familie gleichmäßiger Verteilungen (und wenn ja, um welche Familie handelt es sich)?

— whuber

(1) Mit "Unterfamilie" meinen Sie die stabilen Verteilungen ? (2a) Wenn ja, dann haben Sie angesichts der Tatsache, dass das Produkt der Gaußschen offensichtlich ein anderes Gaußsches ist, eine sofortige positive Antwort. (2b) Wenn nicht, dann gibt es unzählige Antworten. Beginnen Sie mit jeder Familie kontinuierlicher Verteilungen mit überall positiver Dichte. Die kleinste Familie, die enthält und unter renormierten Produkten von Dichtefunktionen geschlossen ist, erledigt den Job. Sie können diese explizit berechnen, wenn nur ein Element enthält.

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

— whuber

@whuber Ja, ich meine eine Unterfamilie der stabilen Distributionen. Sie haben Recht, ein Gaußscher erfüllt meine Kriterien. Ich habe tatsächlich nach anderen Beispielen gesucht, aber das habe ich vergessen zu erwähnen. Gibt es andere Distributionen, die ebenfalls meine Kriterien erfüllen? Ich werde die Frage aktualisieren, danke, dass Sie mir geholfen haben, sie klarer zu machen.

— Becko

Antworten:

Eine "stabile Verteilung" ist eine bestimmte Art von Verteilungsfamilie im Standortmaßstab. Die Klasse der stabilen Verteilungen wird durch zwei reelle Zahlen parametrisiert, die Stabilität und die Schiefe . $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Ein im Wikipedia-Artikel zitiertes Ergebnis löst diese Frage nach dem Schließen unter Produkten von Dichtefunktionen. Wenn die Dichte einer stabilen Verteilung mit , dann asymptotisch $f$ $\alpha \lt 2$

f (x) \sim | x |^{- (1 + α)} g (sgn (x), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

für eine explizit gegebene Funktion deren Details keine Rolle spielen. (Insbesondere ist entweder für alle positiven oder alle negativen oder beide ungleich Null .) Das Produkt von zwei solchen Dichten ist daher asymptotisch proportional zu in at mindestens ein Schwanz. Da , kann dieses Produkt (nach Renormierung) keiner Verteilung in derselben stabilen Familie entsprechen. $g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(In der Tat kann das Produkt von drei solchen Dichtefunktionen nicht einmal die Dichtefunktion sein , da für jedes mögliche ist Dies zerstört jede Hoffnung, die Idee des Produktschlusses von einer einzelnen stabilen Verteilung auf eine Reihe stabiler Verteilungen auszudehnen.) $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

Die einzige verbleibende Möglichkeit ist . Dies sind die Normalverteilungen mit Dichten proportional zu für die Orts- und Skalenparameter und . Es ist einfach zu überprüfen, ob ein Produkt aus zwei solchen Ausdrücken dieselbe Form hat (weil die Summe zweier quadratischer Formen in eine andere quadratische Form in ). $\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

Die eindeutige Antwort lautet also, dass die Normalverteilungsfamilie das einzige Produkt mit dichter geschlossener stabiler Verteilung ist.

— whuber
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Cool! Dies ist dann eine gute Möglichkeit , eine Normalverteilung als die einzigartigen stabilen und geschlossenen Produkte zu definieren. Vielen Dank

— Becko

Ich weiß, dass dies eine teilweise Antwort ist und ich kein Experte bin, aber dies könnte helfen: Wenn eines von zwei unimodalen PDFs log-konkav ist, ist ihre Faltung unimodal. Aufgrund von Ibragimov (1956) über diese Notizen . Wenn beide logarithmisch konkav sind, ist die Faltung anscheinend auch logarithmisch konkav.

Was den Produktabschluss betrifft, so ist das einzige mir bekannte "saubere" Ergebnis für Produktverteilungen der in dieser Antwort von math.se beschriebene Grenzwertsatz .

Wie wäre es mit einer abgeschnittenen Version davon ? Die begrenzte gleichmäßige Verteilung ist ein Grenzfall für ihren Formparameter. Soweit mir bekannt ist, sind sie unimodal und logarithmisch konkav, sodass sie unimodale, logarithmisch konkave Windungen aufweisen. Ich habe keine Ahnung von ihren Produkten. Wenn ich später in dieser Woche mehr Zeit habe, könnte ich versuchen, einige Simulationen durchzuführen, um zu sehen, ob ich log-konkave Produkte mit abgeschnittenen Fehlerverteilungen erhalte. Vielleicht würde Govindarajulu (1966) helfen.

Ich bin mir nicht sicher, wie die Richtlinien für Crossposting lauten, aber es scheint, dass die Leute von math.se Ihnen möglicherweise auch helfen können. Versuchen Sie aus Neugier, aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine algebraische Struktur aufzubauen?

— Shadowtalker
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Die Richtlinien zum Crossposting finden Sie auf der ersten Seite der Hilfe. Es heißt "Bitte nicht überqueren". Wir sollten die beste Seite für unsere Frage auswählen. Eine Frage kann bei Bedarf migriert werden. Wenn ein Teil einer Frage besser für eine andere Site geeignet ist, sollte die Frage als zwei separate Fragen gestellt werden (die verknüpft werden können).

— Glen_b -State Monica