Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte in der Regression

Angenommen, ich habe ein quadratisches Regressionsmodell

Y = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ϵ

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$ wobei die Fehler

ϵ

$\epsilon$ die üblichen Annahmen erfüllen (unabhängig, normal, unabhängig von den

X

$X$ Werten). Sei

b_{0}, b_{1}, b_{2}

$b_0, b_1, b_2$ die Schätzung der kleinsten Quadrate.

Ich habe zwei neue $X$ Werte $x_1$ und $x_2$ und bin daran interessiert, ein Konfidenzintervall für $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$ .

Die Punktschätzung ist und (korrigiert mich wenn ich falsch liege) ich die Varianz schätzen $\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

{\hat{s}}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} Var (b_{1}) + (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})^{2} Var (b_{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) (x^{2} - x_{1}^{2}) Cov (b_{1}, b_{2})

$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$ Verwendung der Varianz- und Kovarianzschätzungen der von der Software bereitgestellten Koeffizienten.

Ich kann eine normale Annäherung verwenden und nehme als 95% Konfidenzintervall für , oder ich könnte einen Bootstrap - Konfidenzintervall verwenden, aber ist es eine Möglichkeit , dass die genaue Verteilung und Nutzung zu erarbeiten? $\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$ $v$

regression confidence-interval

— mark999
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\hat{v}

$\hat{v}$

Wollen Sie damit sagen, dass das normale Konfidenzintervall korrekt ist? Wenn ich das richtig verstehe, würden wir nach dieser Logik auch normale Konfidenzintervalle für die Parameter verwenden. Wir verwenden jedoch Intervalle, die auf der t-Verteilung basieren.

— Mark999

Die t-Verteilung wird verwendet, weil Sie die Fehlervarianz schätzen. Wenn das bekannt wäre, hätten Sie eine Normalverteilung, wie @whuber sagt.

— JMS

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Ich frage, kann die t-Verteilung auch für ein Konfidenzintervall für v verwendet werden, wie in der Frage definiert, und wenn ja, mit wie vielen Freiheitsgraden?

— Mark999

Die Varianzen und Kovarianzen hängen letztendlich alle von der geschätzten Varianz der Residuen ab. Somit ist der zu verwendende DF der DF in dieser Schätzung, der der Anzahl der Datenwerte abzüglich der Anzahl der Parameter (einschließlich der Konstante) entspricht.

— whuber

$p$ $X$ $X^2$ $n$ $\mathbf{X}$ $n \times (p+1)$ $\hat{\beta}$ $p+1$ $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

\frac{a^{T} \hat{β} - a^{T} β}{\hat{σ} \sqrt{a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a}} \sim t_{n - p - 1} .

$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$

$\beta$ $t$

$p = 2$ $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$ $\hat{\sigma}^2$ $n-p-1$ $n$

— NRH
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a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a

$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$

X

$\mathbf{X}$

n \times (p + 1)

$n \times (p+1)$

X

$\mathbf{X}$

p + 1

$p+1$