Ich beginne damit, dass dies direkt aus dem Buch heraus ein Problem mit den Hausaufgaben ist. Ich habe ein paar Stunden damit verbracht, nach den erwarteten Werten zu suchen, und festgestellt, dass ich nichts verstehe.

Lassen Sie $X$ die CDF . Suchen Sie für die Werte von für die existiert.$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

Ich habe keine Ahnung, wie ich damit anfangen soll. Wie kann ich feststellen, welche Werte von existieren? Ich weiß auch nicht, was ich mit der CDF machen soll (ich gehe davon aus, dass dies kumulative Verteilungsfunktion bedeutet). Es gibt Formeln zum Ermitteln des erwarteten Werts, wenn Sie eine Frequenzfunktion oder Dichtefunktion haben. Wikipedia sagt, die CDF von kann in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wie folgt definiert werden:$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Das ist so weit wie ich gekommen bin. Wohin gehe ich von hier aus?

EDIT: Ich wollte .$x\ge1$

Bearbeitet für den Kommentar von Wahrscheinlichkeitslogik

Beachten Sie, dass in diesem Fall ist, die Verteilung also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 kleiner als 1 ist , also x ≥ 1 , und Sie benötigen außerdem α > 0 für eine zunehmende cdf.$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

Wenn Sie das cdf haben, dann möchten Sie das Anti-Integral oder Derivat mit einer kontinuierlichen Verteilung wie dieser

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

und umgekehrt für x ≥ 1 .$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Dann, um die Erwartung zu finden, müssen Sie finden

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

vorausgesetzt, dass dies existiert. Ich werde den Kalkül dir überlassen.

Die Verwendung der Dichtefunktion ist nicht erforderlich

Integriere 1 minus der CDF

Wenn Sie eine Zufallsvariable , deren Unterstützung nicht negativ ist (dh die Variable hat eine Dichte / Wahrscheinlichkeit ungleich Null für nur positive Werte), können Sie die folgende Eigenschaft verwenden:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Eine ähnliche Eigenschaft gilt für eine diskrete Zufallsvariable.

Beweis

Da ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Dann ändere die Reihenfolge der Integration:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Erkennen, dass eine Dummy-Variable ist, oder die einfache Substitution t = x und d t = d x nehmen ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Zuschreibung

Ich habe den Abschnitt Formeln für Sonderfälle im Artikel Erwarteter Wert auf Wikipedia verwendet , um mein Gedächtnis für den Proof aufzufrischen. Dieser Abschnitt enthält auch Beweise für den Fall der diskreten Zufallsvariablen und für den Fall, dass keine Dichtefunktion existiert.

Das Ergebnis erstreckt sich auf die - te Moment der X als auch. Hier ist eine grafische Darstellung: $k$$X$

Ich denke, Sie meinen tatsächlich , ansonsten ist die CDF leer, da F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = 0 .$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

Was Sie über CDFs "wissen", ist, dass sie sich schließlich Null nähern, wenn das Argument ohne Bindung abnimmt, und sich schließlich Eins als x → ∞ nähern . Sie nehmen auch nicht ab, dh 0 ≤ F ( y ) ≤ F ( x ) ≤ 1 für alle y ≤ x .$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

Wenn wir also die CDF einstecken, erhalten wir:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

Daraus schließen wir , dass die Unterstützung für heißt x ≥ 1 . Jetzt benötigen wir auch lim x → ∞ F ( x ) = 1, was impliziert, dass α > $x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

Um herauszufinden, welche Werte die Erwartung hat, benötigen wir:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

Und dieser letzte Ausdruck zeigt, dass wir - α < - 1 haben müssen , damit existiert , was wiederum α > 1 impliziert . Dies kann leicht erweitert werden, um die Werte von α zu bestimmen, für die das r' -te Rohmoment E ( X r ) existiert.$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

Die Antwort, die eine Änderung der Reihenfolge erfordert, ist unnötig hässlich. Hier ist ein eleganter 2-Zeilen-Beweis.

$\int udv = uv - \int vdu$

$du = dx$$v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$