Ausdruck in geschlossener Form für die Verteilung der Probenkurtose der Gaußschen Verteilung

Gibt es einen Ausdruck in geschlossener Form für die Verteilung der Stichproben-Kurtosis von Daten, die aus der Gaußschen Verteilung entnommen wurden? dh

$P(\hat{K}<a)$ wobei die Beispielkurtose ist.$\hat{K}$

Die genaue Stichprobenverteilung ist schwierig abzuleiten. Es gab die ersten Momente (aus dem Jahr 1929), verschiedene Annäherungen (aus den frühen 1960er Jahren) und Tabellen, die oft auf Simulationen beruhten (aus den 1960er Jahren).

Um genauer zu sein:

Fisher (1929) gibt Momente der Stichprobenverteilung der Schiefe und Kurtosis in normalen Proben an, und Pearson (1930) (auch) gibt die ersten vier Momente der Stichprobenverteilung der Schiefe und Kurtosis an und schlägt darauf basierende Tests vor.

Also zum Beispiel :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Die Schiefe von ist$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Die überschüssige Kurtosis von ist .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Achtung - die Werte für die Momente usw. hängen von der genauen Definition der verwendeten Kurtosis ab. Wenn Sie beispielsweise eine andere Formel für oder , liegt dies im Allgemeinen an einer etwas anderen Definition der Stichproben-Kurtosis.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

In diesem Fall sollten die obigen Formeln für .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) diskutiert die Annäherung der Stichprobenverteilung der Kurtosis in normalen Proben durch eine Pearson Typ IV- oder eine Johnson Verteilung (zweifellos war der Grund, warum die ersten vier Momente drei Jahrzehnte zuvor gegeben wurden, größtenteils, um die Verwendung der Pearson-Familie zu ermöglichen). .$S_U$

Pearson (1965) gibt Tabellen für Perzentile der Kurtosis für einige Werte von .$n$

D'Agostino und Tietjen (1971) geben umfangreichere Perzentil-Tabellen für Kurtosis an.

D'Agostino und Pearson (1973) geben Diagramme von Prozentpunkten der Kurtosis an, die wiederum einen größeren Bereich von Fällen abdecken.

Fisher, RA (1929),
"Momente und Produktmomente von Stichprobenverteilungen",
Proceedings of the London Mathematical Society , Series 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Eine Weiterentwicklung von Tests auf Normalität",
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Einige Probleme, die bei der Annäherung an Wahrscheinlichkeitsverteilungen unter Verwendung von Momenten auftreten",
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
"Tabellen mit Prozentpunkten von und in normalen Proben: Eine Abrundung", Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB und Tietjen, GL (1971),
"Simulationswahrscheinlichkeitspunkte von für kleine Proben", Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB und Pearson, ES (1973),
"Tests zur Abweichung von der Normalität. Empirische Ergebnisse für die Verteilung von und ", Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

Die Stichproben-Kurtosis aus einer normalen Stichprobe ist ungefähr als Null-Mittelwert-Normal mit einer Varianz von , wobei die Stichprobengröße ist (natürlich ist die Approximation umso besser , je größer . Kompliziertere Ausdrücke für die Varianz können sein gefunden in der Wikipedia-Seite ). Für Gaußsche Proben kleiner Größe (<40) wurden in dieser Arbeit Perzentile abgeleitet: Lacher, DA (1989). Stichprobenverteilung von Schiefe und Kurtosis. Clinical Chemistry, 35 (2), 330 & ndash; 331.$\approx 24/n$$n$$n$