Typüberprüfung und rekursive Typen (Schreiben des Y-Kombinators in Haskell / Ocaml)


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Bei der Erläuterung des Y-Kombinators im Kontext von Haskell wird normalerweise darauf hingewiesen, dass die direkte Implementierung in Haskell aufgrund des rekursiven Typs keine Typprüfung durchführt.

Zum Beispiel von Rosettacode :

The obvious definition of the Y combinator in Haskell canot be used
because it contains an infinite recursive type (a = a -> b). Defining
a data type (Mu) allows this recursion to be broken.

newtype Mu a = Roll { unroll :: Mu a -> a }

fix :: (a -> a) -> a
fix = \f -> (\x -> f (unroll x x)) $ Roll (\x -> f (unroll x x))

Und in der Tat gibt die "offensichtliche" Definition keine Typprüfung aus:

λ> let fix f g = (\x -> \a -> f (x x) a) (\x -> \a -> f (x x) a) g

<interactive>:10:33:
    Occurs check: cannot construct the infinite type:
      t2 = t2 -> t0 -> t1
    Expected type: t2 -> t0 -> t1
      Actual type: (t2 -> t0 -> t1) -> t0 -> t1
    In the first argument of `x', namely `x'
    In the first argument of `f', namely `(x x)'
    In the expression: f (x x) a

<interactive>:10:57:
    Occurs check: cannot construct the infinite type:
      t2 = t2 -> t0 -> t1
    In the first argument of `x', namely `x'
    In the first argument of `f', namely `(x x)'
    In the expression: f (x x) a
(0.01 secs, 1033328 bytes)

Die gleiche Einschränkung besteht in Ocaml:

utop # let fix f g = (fun x a -> f (x x) a) (fun x a -> f (x x) a) g;;
Error: This expression has type 'a -> 'b but an expression was expected of type 'a                                    
       The type variable 'a occurs inside 'a -> 'b

In Ocaml kann man jedoch rekursive Typen zulassen, indem man den -rectypesSchalter übergibt :

   -rectypes
          Allow  arbitrary  recursive  types  during type-checking.  By default, only recursive
          types where the recursion goes through an object type are supported.

Mit -rectypesfunktioniert alles:

utop # let fix f g = (fun x a -> f (x x) a) (fun x a -> f (x x) a) g;;
val fix : (('a -> 'b) -> 'a -> 'b) -> 'a -> 'b = <fun>
utop # let fact_improver partial n = if n = 0 then 1 else n*partial (n-1);;
val fact_improver : (int -> int) -> int -> int = <fun>
utop # (fix fact_improver) 5;;
- : int = 120

Da ich neugierig auf Typsysteme und Typinferenz bin, wirft dies einige Fragen auf, die ich immer noch nicht beantworten kann.

  • Wie kommt die Typprüfung auf den Typ t2 = t2 -> t0 -> t1? Nachdem ich diesen Typ gefunden habe, denke ich, besteht das Problem darin, dass sich type ( t2) auf der rechten Seite auf sich selbst bezieht.
  • Zweitens, und vielleicht am interessantesten, was ist der Grund dafür, dass die Systeme vom Typ Haskell / Ocaml dies nicht zulassen? Ich vermute, es gibt einen guten Grund, da Ocaml es auch nicht standardmäßig zulässt, selbst wenn es mit rekursiven Typen umgehen kann, wenn der -rectypesSchalter gegeben ist.

Wenn dies wirklich große Themen sind, würde ich Hinweise auf relevante Literatur schätzen.

Antworten:


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Erstens, der GHC-Fehler,

GHC versucht, einige Einschränkungen zu vereinheitlichen x, indem wir sie zunächst als Funktion verwenden

x :: a -> b

Als nächstes verwenden wir es als Wert für diese Funktion

x :: a

Und schließlich vereinen wir es so mit dem ursprünglichen Argumentausdruck

x :: (a -> b) -> c -> d

Jetzt x xwird ein Versuch zur Vereinheitlichung t2 -> t1 -> t0. Wir können dies jedoch nicht vereinheitlichen, da dies die Vereinigung t2des ersten Arguments von xmit erforderlich machen würde x. Daher unsere Fehlermeldung.

Als nächstes warum nicht allgemeine rekursive Typen. Nun, der erste bemerkenswerte Punkt ist der Unterschied zwischen den rekursiven Typen equi und iso.

  • Äquirekursiv ist, was Sie erwarten würden, mu X . Typegenau gleichbedeutend mit willkürlichem Erweitern oder Falten.
  • iso-rekursive Typen bieten ein Paar von Operatoren foldund unfolddie falten und entfalten die rekursive Definitionen von Typen.

Äquirekursive Typen klingen jetzt ideal, sind aber in komplexen Typensystemen absurd schwer zu finden. Dies kann die Typprüfung tatsächlich unentscheidbar machen. Ich bin nicht mit allen Details des OCaml-Typsystems vertraut, aber vollständig gleichwertige Typen in Haskell können dazu führen, dass der Typechecker willkürlich versucht, Typen zu vereinheitlichen. Standardmäßig stellt Haskell sicher, dass die Typprüfung beendet wird. Darüber hinaus sind in Haskell Typ-Synonyme dumm, die nützlichsten rekursiven Typen würden wie type T = T -> ()folgt definiert , werden jedoch in Haskell fast sofort inline gesetzt, aber Sie können einen rekursiven Typ nicht inline setzen, er ist unendlich! Daher erfordern rekursive Typen in Haskell eine gründliche Überarbeitung des Umgangs mit Synonymen, die sich wahrscheinlich nicht einmal als Spracherweiterung lohnen.

Iso-rekursive Typen zu verwenden ist etwas mühsam. Sie müssen dem Typprüfer mehr oder weniger explizit mitteilen, wie Sie Ihre Typen falten und entfalten sollen, wodurch das Lesen und Schreiben Ihrer Programme komplexer wird.

Dies ist jedoch sehr ähnlich zu dem, was Sie mit Ihrem MuTyp machen. Rollist gefaltet und unrollentfaltet. Tatsächlich haben wir iso-rekursive Typen eingebaut. Äqui-rekursive Typen sind jedoch einfach zu komplex, sodass Systeme wie OCaml und Haskell Sie dazu zwingen, Wiederholungen durch Fixpoints auf Typebene zu leiten.

Wenn Sie das interessiert, würde ich Typen und Programmiersprachen empfehlen. Meine Kopie sitzt offen auf meinem Schoß, während ich dies schreibe, um sicherzustellen, dass ich die richtige Terminologie habe :)


Insbesondere Kapitel 21 bietet eine gute Intuition für Induktion, Koinduktion und rekursive Typen
Daniel Gratzer

Vielen Dank! Das ist wirklich faszinierend. Ich lese gerade TAPL und bin froh zu hören, dass dies später in diesem Buch behandelt wird.
Beta

@beta Yep, TAPL und sein großer Bruder Advanced Topics in Types und Programming Languages ​​sind wunderbare Ressourcen.
Daniel Gratzer

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In OCaml müssen Sie -rectypesals Parameter an den Compiler übergeben (oder #rectypes;;in die oberste Ebene eingeben). Grob gesagt, wird dies während der Vereinigung deaktiviert. Die Situation The type variable 'a occurs inside 'a -> 'bwird kein Problem mehr sein. Das Typensystem ist weiterhin "korrekt" (Ton usw.), die unendlichen Bäume, die als Typen entstehen, werden manchmal als "rationale Bäume" bezeichnet. Das Typsystem wird schwächer, dh es können keine Programmierfehler mehr erkannt werden.

Weitere Informationen zu Fixpunktoperatoren mit Beispielen in OCaml finden Sie in meinem Vortrag zur Lambda- Berechnung (ab Folie 27).

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