Algorithmus für Projekt Euler Problem Nr. 18

Das Problem Nr. 18 auf der Website von Project Euler lautet wie folgt:

By starting at the top of the triangle below and moving to adjacent numbers on the row below, the maximum total from top to bottom is 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

That is, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Find the maximum total from top to bottom of the triangle below:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTE: As there are only 16384 routes, it is possible to solve this problem by trying every route. However, Problem 67, is the same challenge with a triangle containing one-hundred rows; it cannot be solved by brute force, and requires a clever method! ;o)

Die Formulierung dieser Probleme macht nicht klar, ob

• Der "Traversor" ist gierig, was bedeutet, dass er das Kind immer mit einem höheren Wert ausgewählt hat
• Das Maximum jeder einzelnen exemplarischen Vorgehensweise wird abgefragt

Das NOTEsagt das it is possible to solve this problem by trying every route. Das heißt für mich, das ist auch ohne möglich !

Dies führt zu meiner eigentlichen Frage: Angenommen, nicht der gierige ist der maximale, gibt es einen Algorithmus, der den maximalen Walkthrough-Wert findet, ohne jede Route auszuprobieren, und der sich nicht wie der gierige Algorithmus verhält?

Ich habe einen Algorithmus in Java implementiert, indem ich die Werte zuerst in eine Knotenstruktur eingefügt und dann den Greedy-Algorithmus angewendet habe. Das Ergebnis wird jedoch von Project Euler als falsch eingestuft.

sum = 0;

void findWay(Node node){
    sum += node.value;
    if(node.nodeLeft != null && node.nodeRight != null){
            if(node.nodeLeft.value > node.nodeRight.value){
                findWay(node.nodeLeft);
            }else{
                findWay(node.nodeRight);
            }
        }
}

Spoiler-Alarm : Diese Antwort führt Sie zu einer Lösung, implementiert diese jedoch nicht

Am Beispiel von WuHoUnited, modifiziert für die Eindeutigkeit:

   9
  7 0
 2 4 6
8 5 1 3

Fragen Sie sich Folgendes: Wenn Sie sich bei 2 befinden würden, würden Sie jemals 8 statt 5 nehmen, wenn Sie wissen, dass dies die Blattknoten des Baumes sind? Wenn Sie sich bei 6 befinden würden, würden Sie jemals 3 statt 1 nehmen, wenn Sie wüssten, dass dies die Blattknoten des Baumes sind?

Sicherlich nicht. Wir können jetzt den Baum verkleinern und wissen, welche Entscheidung wir am vorletzten Zweig treffen würden (unabhängig davon, wie wir dorthin gekommen sind):

   9
  7 0
10 9 9

Ich denke du siehst wohin das führt.

Als jemand, der das Problem gelöst hat, kann ich Ihnen sagen, dass der gierige Algorithmus NICHT das ist, wonach er sucht.

Es wird nach dem Maximalwert aller möglichen Routen gesucht.

Beispiel

   3
  7 4
 2 4 6
8 5 1 3

3 + 7 + 4 + 5 = 19 <- gierig
3 + 7 + 2 + 8 = 20 <- nicht gierig

Die Antwort sollte also 20 sein

Dijkstra-Algorithmus für kürzeste Wege (alle Kanten negativ drehen).

Gieriger Ansatz ist definitiv nicht der Ansatz, den Sie für dieses Problem in Betracht ziehen sollten. Stellen Sie sich eine Lösung vor, die alle möglichen Routen gründlich überprüft und das Maximum findet. Optimieren Sie es dann mithilfe der dynamischen Programmierung .