Gibt es eine Untergruppe von Programmen, die das Problem des Anhaltens vermeiden?

Ich las gerade eine weitere Erklärung des Halteproblems und dachte an all die Probleme, die ich gesehen habe und die als Beispiele angeführt sind, beinhalten unendliche Sequenzen. Aber ich verwende in meinen Programmen niemals unendliche Sequenzen - sie dauern zu lange. Alle Anwendungen der realen Welt haben Unter- und Obergrenzen. Sogar reelle Zahlen sind keine reellen Zahlen - es handelt sich um Näherungswerte, die als 32/64 Bit usw. gespeichert sind.

Die Frage ist also, ob es eine Untergruppe von Programmen gibt, die bestimmt werden können, wenn sie anhalten. Ist es gut genug für die meisten Programme. Kann ich eine Reihe von Sprachkonstrukten erstellen, mit denen ich die Haltbarkeit eines Programms bestimmen kann? Ich bin mir sicher, dass dies irgendwo zuvor untersucht wurde, daher wären alle Hinweise willkommen. Die Sprache wäre nicht vollständig, aber gibt es so etwas wie fast vollständig, was gut genug ist?

Natürlich müsste ein solches Konstrukt eine Rekursion und unbegrenzte while-Schleifen ausschließen, aber ich kann ein Programm ohne diese einfach genug schreiben.

Das Lesen von der Standardeingabe als Beispiel müsste eingeschränkt sein, aber das ist einfach genug - ich beschränke meine Eingabe auf 10.000.000 Zeichen usw., abhängig von der Problemdomäne.

tia

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Nachdem ich die Kommentare und Antworten gelesen habe, sollte ich vielleicht meine Frage wiederholen.

Für ein bestimmtes Programm, in dem alle Eingaben beschränkt sind, können Sie bestimmen, ob das Programm anhält. Wenn ja, wie lauten die Einschränkungen der Sprache und wie lauten die Grenzen des Eingabesatzes? Die maximale Menge dieser Konstrukte würde eine Sprache bestimmen, die angehalten werden kann oder nicht. Gibt es eine Studie darüber?

[Update 2]

Hier ist die Antwort: Ja, schon 1967 von http://www.isp.uni-luebeck.de/kps07/files/papers/kirner.pdf

Dass das Stopp-Problem zumindest theoretisch für Systeme mit endlichen Zuständen gelöst werden kann, hat Minsky bereits 1967 argumentiert [4]: ​​„... jede Maschine mit endlichen Zuständen wird, wenn sie sich selbst überlassen bleibt, schließlich in eine vollkommene Periodizität fallen sich wiederholendes Muster. Die Dauer dieses sich wiederholenden Musters darf die Anzahl der internen Zustände der Maschine nicht überschreiten ... “

(Und wenn Sie sich an endliche Turingmaschinen halten, können Sie ein Orakel bauen.)

Das Problem liegt nicht bei der Eingabe (bei unbegrenzten Eingaben können Sie natürlich unbegrenzte Laufzeit haben, um die Eingabe zu lesen), sondern bei der Anzahl der internen Zustände.

Wenn die Anzahl der internen Zustände begrenzt ist, können Sie theoretisch das Halteproblem in allen Fällen lösen (emulieren Sie es einfach, bis Sie zum Halten oder zur Wiederholung eines Zustands gelangen). Wenn dies nicht der Fall ist, gibt es Fälle, in denen es nicht lösbar ist . Aber selbst wenn die Anzahl der internen Zustände in der Praxis begrenzt ist, ist sie auch so groß, dass die Methoden, die sich auf die Begrenztheit der Anzahl der internen Zustände stützen, keinen Beweis für die Beendigung irgendeines anderen als der trivialsten Programme liefern.

Es gibt praktischere Möglichkeiten, die Beendigung von Programmen zu überprüfen. Drücken Sie sie zum Beispiel in einer Programmiersprache aus, die weder rekursiv noch goto ist und deren Schleifenstrukturen alle an die Anzahl der Iterationen gebunden sind, die beim Eintritt in die Schleife angegeben werden müssen. (Beachten Sie, dass die Grenze nicht unbedingt mit der effektiven Anzahl von Iterationen verknüpft sein muss. Ein Standardweg, um die Beendigung einer Schleife zu beweisen, besteht darin, eine Funktion zu haben, die von einer Iteration zur anderen und Ihrer Eingabebedingung streng abnimmt Stellen Sie sicher, dass dies positiv ist, und geben Sie die erste Bewertung als Ihre Bindung an.

Überlegen Sie sich zunächst, was passieren würde, wenn wir einen Detektor zum Stoppen hätten. Wir wissen aus dem diagonalen Argument, dass es mindestens ein Programm gibt, das dazu führen würde, dass ein Detektor, der anhält, niemals anhält oder eine falsche Antwort gibt. Aber das ist ein bizarres und unwahrscheinliches Programm.

Es gibt jedoch ein anderes Argument, dass ein Stopp-Detektor unmöglich ist, und das ist das intuitivere Argument, dass ein Stopp-Detektor magisch wäre. Angenommen, Sie möchten wissen, ob Fermats letzter Satz wahr oder falsch ist. Sie schreiben einfach ein Programm, das angehalten wird, wenn es wahr ist, und für immer ausgeführt wird, wenn es falsch ist, und führen dann den Anhalten-Detektor darauf aus. Sie führen das Programm nicht aus , Sie führen nur den Stopp-Detektor für das Programm aus . Ein Stopp-Detektor würde es uns ermöglichen, eine Vielzahl offener Probleme in der Zahlentheorie sofort zu lösen, indem wir einfach Programme schreiben.

Können Sie also eine Programmiersprache schreiben, die garantiert Programme erzeugt, deren Anhalten immer bestimmt werden kann? Sicher. Es kann einfach keine Schleifen, Bedingungen und beliebig viel Speicherplatz verwenden. Wenn Sie bereit sind, ohne Schleifen, ohne "Wenn" -Anweisungen oder mit einer streng begrenzten Speichermenge zu leben, können Sie sicher eine Sprache schreiben, deren Anhalten immer bestimmbar ist.

Ich empfehle Ihnen, Gödel, Escher, Bach zu lesen . Es ist ein sehr unterhaltsames und aufschlussreiches Buch, das unter anderem Gödels Unvollständigkeitssatz und das Halteproblem anspricht.

Um Ihre Frage auf den Punkt zu bringen: Das Problem des Anhaltens kann entschieden werden, solange Ihr Programm keine whileSchleife (oder eine der vielen möglichen Manifestationen) enthält.

Für jedes Programm, das mit einer begrenzten Menge an Speicher (einschließlich Speicher aller Art) arbeitet, kann das Problem des Anhaltens gelöst werden. Das heißt, ein unentscheidbares Programm benötigt zwangsläufig immer mehr Speicherplatz.

Diese Einsicht bedeutet jedoch nicht, dass sie für Probleme der realen Welt verwendet werden kann, da das Anhalten eines Programms mit nur wenigen Kilobyte Arbeitsspeicher leicht länger dauern kann als die verbleibende Lebensdauer des Universums.

(Teil-) Beantwortung Ihrer Frage "Gibt es eine Untergruppe von Programmen, die das Problem des Anhaltens vermeiden?": Ja, tatsächlich gibt es. Diese Untermenge ist jedoch erstaunlich nutzlos (beachten Sie, dass die Untermenge, von der ich spreche, eine strikte Untermenge der Programme ist, die anhalten).

Die Untersuchung der Komplexität von Problemen für 'die meisten Eingaben' wird als Komplexität im allgemeinen Fall bezeichnet . Sie definieren eine Teilmenge der möglichen Eingaben, beweisen, dass diese Teilmenge die meisten Eingaben abdeckt, und geben einen Algorithmus an, der das Problem für diese Teilmenge löst.

Zum Beispiel ist das Problem des Anhaltens für die meisten Eingaben in Polynomzeit lösbar (tatsächlich in linearer Zeit, wenn ich das Papier richtig verstehe ).

Dieses Ergebnis ist jedoch aufgrund von drei Randnotizen ziemlich nutzlos: Erstens sprechen wir über Turing-Maschinen mit einem einzigen Band und nicht über reale Computerprogramme auf realen Computern. Soweit ich weiß, weiß niemand, ob dies für Computer in der realen Welt gilt (obwohl Computer in der realen Welt möglicherweise die gleichen Funktionen wie Turing-Maschinen berechnen können, wie viele Programme zulässig sind, wie lang sie sind und ob sie anhalten völlig anders).

Zweitens muss man aufpassen, was die meisten Eingaben bedeuten. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zufallsprogramm der 'Länge' n von diesem Algorithmus überprüft werden kann, gegen 1 geht, während n gegen unendlich geht. Mit anderen Worten, wenn n groß genug ist, kann ein Zufallsprogramm der Länge n mit diesem Algorithmus fast sicher überprüft werden.

Welche Programme können mit dem im Papier beschriebenen Ansatz überprüft werden? Im Wesentlichen alle Programme, die vor dem Wiederholen eines Status angehalten werden (wobei "Status" ungefähr einer Codezeile in einem Programm entspricht).

Obwohl fast alle Programme auf diese Weise überprüft werden können, ist keines der Programme, die auf diese Weise überprüft werden können, sehr interessant und sie werden normalerweise nicht von Menschen entworfen, so dass dies überhaupt keinen praktischen Wert hat.

Dies weist auch darauf hin, dass die Komplexität von Groß- und Kleinschreibung wahrscheinlich nicht in der Lage sein wird, das Problem zu lösen, da fast alle interessanten Programme (anscheinend) schwer zu überprüfen sind. Oder anders ausgedrückt: Fast alle Programme sind uninteressant, aber leicht zu überprüfen.

Es gibt und in der Tat gibt es Programme im wirklichen Leben, die ständig das Problem der Unterbrechung für andere Probleme lösen. Sie sind Teil des Betriebssystems, auf dem Sie Ihren Computer ausführen. Unentscheidbarkeit ist eine seltsame Behauptung, die nur besagt, dass es kein solches Programm gibt, das für ALLE anderen Programme funktioniert.

Eine Person gab zu Recht an, dass der Stopp-Proof das einzige Programm zu sein scheint, für das er nicht gelöst werden kann, da er sich wie ein Spiegel unendlich weiterverfolgt. Dieselbe Person gab auch an, dass es magisch wäre, wenn es eine Stoppmaschine gäbe, weil sie uns schwierige mathematische Probleme erklären würde, indem sie uns im Voraus mitteilt, ob der Algorithmus des Lösers anhalten würde.

In beiden Fällen wird davon ausgegangen, dass die Stoppmaschine nicht verfolgt, da es keinen Beweis dafür gibt, dass sie verfolgt. In Wirklichkeit wird jedoch das Programm, auf dem es ausgeführt wird, mit der angegebenen Eingabe verfolgt / ausgeführt.

Zumindest der logische Beweis ist einfach. Wenn es nicht mindestens den ersten Schritt nachverfolgen müsste, bräuchte es nicht die Eingabe zusammen mit dem Programm, auf dem es ausgeführt wird. Um die Informationen nutzen zu können, muss mindestens der erste Schritt nachverfolgt werden, bevor analysiert werden kann, wohin dieser Pfad führt.

Bei den in der oberen Antwort genannten schwierigen mathematischen Problemen kann man nicht schnell vorspulen, um die Antwort herauszufinden. Dies bedeutet, dass das Halteproblem so lange nachverfolgt werden muss, bis ein Muster erkennbar ist.

Das einzige praktische Argument für das Problem des Anhaltens ist, dass eine anhaltene Maschine das Ergebnis eines optimierten Problemlösers nicht schneller ermitteln kann, als der Problemlöser es beenden kann.

Es ist schwieriger, einen formellen Beweis für diese Argumentation zu liefern, und obwohl ich glaube, dass ich es könnte, wird der Versuch, es jemandem von einer Akademie zu erklären, dazu führen, dass sie einen Affen wie Wutanfall werfen und vom Kronleuchter schwingen. Es ist am besten, sich nicht mit diesen Leuten zu streiten.

Hier ist die Antwort: Ja, schon 1967 von http://www.isp.uni-luebeck.de/kps07/files/papers/kirner.pdf

Dass das Stopp-Problem zumindest theoretisch für Systeme mit endlichen Zuständen gelöst werden kann, wurde bereits 1967 von Minsky [4] argumentiert: „... Jede Maschine mit endlichen Zuständen wird, wenn sie sich selbst überlassen bleibt, irgendwann in eine vollkommene Periodizität fallen sich wiederholendes Muster. Die Dauer dieses sich wiederholenden Musters darf die Anzahl der internen Zustände der Maschine nicht überschreiten ... “

(Und wenn Sie sich an endliche Turingmaschinen halten, können Sie ein Orakel bauen.)

Natürlich ist eine andere Frage, wie lange dies dauert

Gibt es eine Untergruppe von Programmen, die bestimmt werden können, wenn sie anhalten?

Ja.

Ist es für die meisten Programme gut genug?

Definiere "most".

Kann ich eine Reihe von Sprachkonstrukten erstellen, mit denen ich die Haltbarkeit eines Programms bestimmen kann?

Ja.

gibt es so etwas wie fast vollständig, was gut genug ist?

Definieren Sie "fast".

Viele Leute schreiben Python, ohne es zu benutzen while Anweisung oder Rekursion.

Viele Leute schreiben Java nur mit der forAnweisung simple Iteratoren oder Zählern, von denen trivial bewiesen werden kann, dass sie terminieren. und sie schreiben ohne Rekursion.

Es ist ziemlich leicht zu vermeiden whileund Rekursion.

Können Sie für ein bestimmtes Programm, in dem alle Eingaben beschränkt sind, bestimmen, ob das Programm anhält?

Nein.

Wenn ja, wie lauten die Einschränkungen der Sprache und wie lauten die Grenzen des Eingabesatzes?

Äh. Das Problem des Anhaltens bedeutet, dass das Programm niemals Dinge über Programme bestimmen kann, die so komplex sind wie es selbst. Sie können eine der zahlreichen Einschränkungen hinzufügen, um das Problem des Anhaltens zu überwinden.

Der Standardansatz für das Stopp-Problem besteht darin, Beweise zuzulassen, die eine etwas "umfangreichere" Menge mathematischer Formalismen verwenden, als sie in der Programmiersprache verfügbar sind.

Es ist einfacher, das Proofsystem zu erweitern, als die Sprache einzuschränken. Jede Einschränkung führt zu Argumenten für den einen Algorithmus, der aufgrund der Einschränkung schwierig auszudrücken ist.

Die maximale Menge dieser Konstrukte würde eine Sprache bestimmen, die angehalten werden kann oder nicht. Gibt es eine Studie darüber?

Ja. Es heißt "Gruppentheorie". Eine Reihe von Werten, die unter einer Reihe von Operationen geschlossen wurden. Ziemlich gut verstandenes Zeug.