Welche mathematischen Hilfsmittel gibt es, um moduliertes Rauschen zu verstehen?

Angenommen, wir haben ein Signal , das aus weißem Gaußschen Rauschen besteht. Wenn wir dieses Signal modulieren, indem wir es mit multiplizieren , hat das resultierende Signal immer noch ein weißes Leistungsspektrum, aber das Rauschen ist jetzt eindeutig zeitlich "gebündelt". Dies ist ein Beispiel für einen cyclostationären Prozess . $n$ $\sin 2\omega t$

x (t) = n (t) \sin 2 ω t

$x(t) = n(t) \sin2\omega t$

Nehmen wir an, wir demodulieren dieses Signal nun mit einer Frequenz indem wir mit Sinus- und Cosinus-Lokaloszillatoren mischen und I- und Q-Signale bilden: $\omega$

I = x (t) \times \sin ω t

$I = x(t) \times \sin\omega t$

Q = x (t) \times \cos ω t

$Q = x(t) \times \cos\omega t$

Wenn man naiv betrachtet, dass das Leistungsspektrum von (über ein Zeitintervall von viel mehr als ) weiß ist, würde man erwarten, dass und beide weißes Gaußsches Rauschen mit der gleichen Amplitude enthalten. Was jedoch wirklich passiert, ist, dass die Quadratur selektiv die Teile der Zeitreihe mit hoher Varianz abtastet , während , das um neunzig Grad phasenverschoben ist, die Teile mit niedrigerer Varianz abtastet: $x(t)$ $1/f$ $I$ $Q$ $I$ $x(t)$ $Q$

modulierte Rauschdarstellung

Das Ergebnis ist, dass die spektrale Rauschdichte in I das -fache von beträgt . $\sqrt{3}$ $Q$

Offensichtlich muss es etwas jenseits des Leistungsspektrums geben, das für die Beschreibung des modulierten Rauschens nützlich ist. In der Literatur meines Fachgebiets gibt es eine Reihe zugänglicher Artikel, die den obigen Prozess beschreiben, aber ich möchte erfahren, wie er allgemeiner von den Signalverarbeitungs- / EE-Communities behandelt wird.

Was sind nützliche mathematische Werkzeuge zum Verstehen und Manipulieren von Cyclostationary Noise? Literaturhinweise sind ebenfalls erwünscht.

Verweise:

Niebauer et al. Phys. Rev. A 43, 5022–5029 .

noise modulation cyclostationary-random-process

— Nibot
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Um die von Ihnen angezeigten Ergebnisse zu erhalten, muss Ihr Demodulator mit der gleichen Trägerfrequenz abwärts konvertieren, , nicht nur .

2 ω

$2 \omega$

ω

$\omega\$

— Jason R

@ Jason R, Ah, ich sehe, ich habe einen Fehler mit der ursprünglichen Modulation gemacht. Es ist auf einen Fehler beim Wechsel von Poisson-Rauschen zu Gauß-Rauschen zurückzuführen.

2 ω

$2\omega$

— Nibot

Ich weiß nicht genau, wonach Sie hier suchen. Rauschen wird typischerweise über seine Leistungsspektraldichte oder äquivalent über seine Autokorrelationsfunktion beschrieben; Die Autokorrelationsfunktion eines zufälligen Prozesses und seine PSD sind ein Fourier-Transformationspaar. Weißes Rauschen hat beispielsweise eine impulsive Autokorrelation. Dies wandelt sich in ein flaches Leistungsspektrum im Fourier-Bereich um.

Ihr Beispiel ist (wenn auch etwas unpraktisch) analog zu einem Kommunikationsempfänger, der trägermoduliertes weißes Rauschen bei einer Trägerfrequenz von . Der Beispielempfänger ist ziemlich glücklich, da er einen Oszillator hat, der mit dem des Senders kohärent ist; Es gibt keinen Phasenversatz zwischen den am Modulator und Demodulator erzeugten Sinuskurven, wodurch die Möglichkeit einer "perfekten" Abwärtskonvertierung in das Basisband besteht. Das allein ist nicht unpraktisch; Es gibt zahlreiche Strukturen für kohärente Kommunikationsempfänger. Rauschen wird jedoch typischerweise als ein zusätzliches Element des Kommunikationskanals modelliert, das nicht mit dem modulierten Signal korreliert ist, das der Empfänger wiederherstellen möchte; $2 \omega$

Ein Blick auf die Mathematik, die hinter Ihrem Beispiel steckt, kann Ihre Beobachtung erklären. Um die von Ihnen beschriebenen Ergebnisse zu erhalten (zumindest in der ursprünglichen Frage), verfügen der Modulator und der Demodulator über Oszillatoren, die mit einer identischen Referenzfrequenz und Phase arbeiten. Der Modulator gibt Folgendes aus:

\begin{aligned} n (t) & \sim N (0, σ^{2}) \\ x (t) & = n (t) \sin (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} n(t) &\sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) \\ x(t) & = n(t) \sin(2\omega t) \end{align}$

Der Empfänger erzeugt die herunterkonvertierten I- und Q-Signale wie folgt:

\begin{aligned} I (t) & = x (t) \sin (2 ω t) = n (t) \sin^{2} (2 ω t) \\ Q (t) & = x (t) \cos (2 ω t) = n (t) \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= x(t) \sin(2 \omega t) = n(t) \sin^2(2 \omega t)\\ Q(t) &= x(t) \cos(2 \omega t) = n(t) \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) \end{align}$

Einige trigonometrische Identitäten können helfen, und noch weiter auszubauen: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} \sin^{2} (2 ω t) & = \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ \sin (2 ω t) \cos (2 ω t) & = \frac{\sin (4 ω t) + \sin (0)}{2} = \frac{1}{2} \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} \sin^2(2 \omega t) &= \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ \sin(2 \omega t) \cos(2 \omega t) &= \frac{\sin(4 \omega t) + \sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \sin(4 \omega t) \end{align}$

Jetzt können wir das abwärts konvertierte Signalpaar wie folgt umschreiben:

\begin{aligned} I (t) & = n (t) \frac{1 - \cos (4 ω t)}{2} \\ Q (t) & = \frac{1}{2} n (t) \sin (4 ω t) \end{aligned}

$\begin{align} I(t) &= n(t) \frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\\ Q(t) &= \frac{1}{2} n(t) \sin(4 \omega t) \end{align}$

Das Eingangsrauschen ist ein Mittelwert von Null, daher sind und auch ein Mittelwert von Null. Dies bedeutet, dass ihre Varianzen: $I(t)$ $Q(t)$

\begin{aligned} σ_{I (t)}^{2} & = E (I^{2} (t)) = E (n^{2} (t) {[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) = E (n^{2} (t)) E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2}) \\ σ_{Q (t)}^{2} & = E (Q^{2} (t)) = E (n^{2} (t) \sin^{2} (4 ω t)) = E (n^{2} (t)) E (\sin^{2} (4 ω t)) \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^{2}_{I(t)} &= \mathbb{E}(I^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right) \\ \sigma^{2}_{Q(t)} &= \mathbb{E}(Q^2(t)) = \mathbb{E}\left(n^2(t) \sin^2(4 \omega t)\right) = \mathbb{E}\left(n^2(t)\right) \mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right) \end{align}$

Sie haben in Ihrer Frage das Verhältnis zwischen den Varianzen von und notiert . Es kann vereinfacht werden: $I(t)$ $Q(t)$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ({[\frac{1 - \cos (4 ω t)}{2}]}^{2})}{E (\sin^{2} (4 ω t))}

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left(\left[\frac{1 - \cos(4 \omega t)}{2}\right]^2\right)}{\mathbb{E}\left(\sin^2(4 \omega t)\right)}$

Die Erwartungen werden über die Zeitvariable des Zufallsprozesses . Da die Funktionen deterministisch und periodisch sind, entspricht dies tatsächlich nur dem quadratischen Mittelwert jeder Sinusfunktion über eine Periode; Für die hier gezeigten Werte erhalten Sie , wie Sie bemerkt haben, ein Verhältnis von . Die Tatsache, dass Sie mehr Rauschleistung im I-Kanal erhalten, ist ein Artefakt des Rauschens, das kohärent (dh in Phase) mit der eigenen Sinusreferenz des Demodulators moduliert wird. Basierend auf der zugrunde liegenden Mathematik ist dieses Ergebnis zu erwarten. Wie ich bereits sagte, ist diese Art von Situation nicht typisch. $n(t)$ $t$ $\sqrt 3$

Obwohl Sie nicht direkt danach gefragt haben, wollte ich feststellen, dass diese Art der Operation (Modulation durch einen sinusförmigen Träger, gefolgt von der Demodulation einer identischen oder nahezu identischen Reproduktion des Trägers) ein grundlegender Baustein in Kommunikationssystemen ist. Ein echter Kommunikationsempfänger würde jedoch einen zusätzlichen Schritt nach der Trägerdemodulation enthalten: ein Tiefpassfilter zum Entfernen der I- und Q-Signalkomponenten bei der Frequenz . Wenn wir die Doppelträgerfrequenzkomponenten eliminieren, sieht das Verhältnis von I-Energie zu Q-Energie wie folgt aus: $4 \omega$

\frac{σ_{I (t)}^{2}}{σ_{Q (t)}^{2}} = \frac{E ((\frac{1}{2})^{2})}{E (0)} = \infty

$\frac{\sigma^{2}_{I(t)}}{\sigma^{2}_{Q(t)}} = \frac{\mathbb{E}\left((\frac{1}{2})^2\right)}{\mathbb{E}(0)} = \infty$

Dies ist das Ziel eines Empfängers mit kohärenter Quadraturmodulation: Das Signal, das in den In-Phase-Kanal (I-Kanal) gelegt wird, wird in das I-Signal des Empfängers übertragen, ohne dass ein Verlust in das Quadratursignal (Q-Signal) auftritt.

Bearbeiten: Ich wollte Ihre Kommentare unten ansprechen. Für einen Quadraturempfänger würde die Trägerfrequenz in den meisten Fällen in der Mitte der übertragenen Signalbandbreite liegen, so dass anstelle einer Bandbegrenzung auf die Trägerfrequenz " ein typisches Kommunikationssignal über das Intervall bandpassiert würde. , wobei die modulierte Bandbreite ist. Ein Quadraturempfänger zielt darauf ab, das Signal als ersten Schritt in das Basisband herunter zu konvertieren; Dies kann durch Behandeln der I- und Q-Kanäle als die realen und imaginären Komponenten eines komplexwertigen Signals für nachfolgende Analyseschritte erfolgen. $\omega\$ $[\omega - \frac{B}{2}, \omega + \frac{B}{2}]$ $B$

Bezüglich Ihres Kommentars zur Statistik zweiter Ordnung des Cyclostationärs haben Sie einen Fehler. Die zyklostationäre Natur des Signals wird in seiner Autokorrelationsfunktion erfasst. Sei die Funktion : $x(t)$ $R(t, \tau)$

R (t, τ) = E (x (t) x (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(x(t)x(t - \tau))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ)))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau)))$

R (t, τ) = E (n (t) n (t - τ)) \sin (2 ω t) \sin (2 ω (t - τ))

$R(t, \tau) = \mathbb{E}(n(t)n(t - \tau)) \sin(2 \omega t) \sin(2 \omega(t - \tau))$

Aufgrund des Weißgrades des ursprünglichen Rauschprozesses ist die Erwartung (und damit die gesamte rechte Seite der Gleichung) für alle Nicht-Null-Werte von Null . $n(t)$ $\tau$

R (t, τ) = σ^{2} δ (τ) \sin^{2} (2 ω t)

$R(t, \tau) = \sigma^2 \delta(\tau) \sin^2(2 \omega t)$

Die Autokorrelation ist nicht mehr nur ein einfacher Impuls bei null Verzögerung. stattdessen ist es wegen des sinusförmigen Skalierungsfaktors zeitvariant und periodisch. Dies verursacht das Phänomen, das Sie ursprünglich beobachtet haben, da es Perioden mit "hoher Varianz" in und andere Perioden gibt, in denen die Varianz geringer ist. Die Perioden mit "hoher Varianz" werden durch Demodulation durch eine Sinuskurve ausgewählt, die mit derjenigen kohärent ist, die verwendet wird, um sie zu modulieren, was der Vernunft entspricht. $x(t)$

— Jason R
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Betreff: "Dies ist das Ziel eines kohärenten Quadraturmodulationsempfängers ..." - dies gilt nur, wenn das ursprüngliche Signal auf Frequenzen begrenzt ist, die unter der Trägerfrequenz liegen, oder?

— Nibot

Betreff: "Rauschen wird typischerweise über seine spektrale Leistungsdichte oder äquivalent über seine Autokorrelationsfunktion beschrieben." Dieses cyclostationäre Rauschen ( ) ist spektral weiß und hat eine Autokorrelationsfunktion, genau wie reguläres (stationäres) Gaußsches Rauschen. Ich suche nach einer Beschreibung, die ihre cyclostationäre Natur einschließt.

n (t) \cdot \sin ω t

$n(t)\cdot\sin\omega t$

δ (t)

$\delta(t)$

— Nibot

Ich habe die Antwort bearbeitet, um über Ihre beiden Kommentare zu sprechen.

— Jason R

@ Jason, guter Beitrag. Ich versuche jedoch, den Teil zu verstehen, in dem Sie über den Cyclostationaritätsprozess sprechen. Es fällt mir schwer zu verstehen, warum 't' hier eine Funktion von R ist ... - nach dem Erwartungsoperator gibt es keine 't'- (Zeit-) Variable mehr ... nur eine Funktion von Tau.

— Spacey

@Jason vergiss es, ich habe gerade gemerkt, dass 't' da sein muss, da sich die Statistiken mit der Zeit ändern (wenn auch zyklisch), und daher wird die Autocorr-Funktion auch eine Funktion von Zeit und Verzögerung sein ... aber was ich nicht verstehe In diesem Fall haben Sie das Delta * sin ^ 2 erhalten. Ist dies eine tatsächliche Frage, die ich posten muss?

— Spacey