Diese Antwort kommt etwas spät, aber ich denke, dass es notwendig ist, einige der Unklarheiten darüber zu beseitigen, was die Eigenstruktur eines Laplace ist und wie sie berechnet wird.
Zunächst muss betont werden, dass es nicht um Eigenschaften des lokalen Kernels geht, der zur Berechnung diskreter Ableitungen verwendet wird. Stattdessen müssen Sie den Laplace-Operator als linearen Operator für einen Vektorraum verstehen, dessen Elemente in Ihrem Fall die Volumendatensätze sind.
Das bedeutet, dass der Laplace-Operator eine lineare Karte ist, die einen Vektor (Datensatz) einem anderen Vektor (Datensatz) zuordnet. In diesem Zusammenhang sind die Eigenvektoren des Laplace wiederum Vektoren (Datensätze) in demselben Vektorraum. Die Antwort auf Ihre Frage wäre also ein Satz volumetrischer Datensätze, tatsächlich so viele wie die Dimension Ihres Vektorraums (dh die Anzahl unabhängiger Voxel).
Betrachten wir ein sehr einfaches Beispiel. Nehmen Sie ein eindimensionales Bild, dh eine einzelne Pixelreihe, und verwenden Sie auch nur sehr wenige Pixel, nämlich 4. Dann müssen die beiden mittleren Pixel die Nachbarn lenken, während das erste und das letzte Pixel jeweils nur einen Nachbarn haben.
1 - 2 - 3 - 4
Mit dieser Pixelgeometrie können wir das Ergebnis des diskreten Laplace-Operators für die beiden mittleren Pixel 2 und 3 als lineare Funktionen der Pixelwerte angeben:
l [ 2 ] = p [ 1 ] - 2 ∗ p [ 2 ] + p [ 3 ]
l [ 3 ] = p [ 2 ] - 2 ∗ p [ 3 ] + p [ 4 ]
Die anderen beiden Pixel 1 und 4 haben nicht genügend direkte Nachbarn, um die diskrete zweite Ableitung zu berechnen. Wir könnten dies beheben, indem wir annehmen, dass die Pixel 1 und 4 direkte Nachbarn sind, die Topologie zu einem Kreis schließen und eine sogenannte kreisförmige Randbedingung auferlegen. Oder wir nehmen einfach die zweiten Ableitungen an den Grenzen, um zu verschwinden. Lassen Sie uns beides tun, aber mit der zyklischen Randbedingung beginnen. Also haben wir:
l [ 1 ] = p [ 4 ] - 2 ∗ p [ 1 ] + p [ 2 ]
l [ 4 ] = p [ 3 ] - 2 ∗ p [ 4 ] + p [ 1 ]
Diese Abbildung ist linear und kann als Matrixgleichung geschrieben werden, wobei der Spaltenvektor abgebildet wird p : = ( p [ 1 ] , p [ 2 ] , p [ 3 ] , p [ 4 ] ) zu l = ( L [ 1 ] , L [ 2 ] , L [ 3 ] , L [ 4 ] ) durch Multiplikation mit der Matrix M..
L = M.⋅ p
Wir nennen diese Matrix die diskrete Darstellung des Laplace-Operators, und in unserem Fall ist dies der Fall
M.=⎛⎝⎜⎜⎜- 21011- 21001- 21101- 2⎞⎠⎟⎟⎟
Die Eigenvektoren dieser Matrix sind
v1= ( - 1 , 1 , - 1 , 1 )
v2=(0,−1,0,1)
v3=(−1,0,1,0)
v4=(1,1,1,1)
mit den zugehörigen Eigenwerten
λ1=4,λ1=2,λ1=2,λ1=0
Sie können diese Vektoren als Basisvektor der diskreten Fourier-Transformation auf diesem Vektor und die Eigenwerte als ihre diskreten Frequenzen erkennen. Dies trifft im Allgemeinen zu, und tatsächlich verallgemeinert die Zerlegung eines Vektors (oder allgemeiner einer Funktion) in das Eigenspektrum eines Laplace-Operators die Idee der Fourier-Transformation.
Lassen Sie uns nun untersuchen, was passiert, wenn wir wo die alternativen Randbedingungen verwenden l[1]=0 und l[4]=0. Die MatrixM ist dann
M=⎛⎝⎜⎜⎜01000−21001−200010⎞⎠⎟⎟⎟
Offensichtlich hat diese Matrix einen anderen Satz von Eigenvektoren und Eigenwerten. Sie sind nicht so intuitiv und interessant, deshalb werde ich sie nicht explizit auflisten. Es ist jedoch erwähnenswert, dass wir jetzt den Eigenwert erhalten0 zweimal bedeutet dies, dass der Eigenraum, in dem der Laplace-Wert verschwindet, zweidimensional ist.
Wie ändern sich die Dinge, wenn wir ein richtiges Bild anstelle einer einzelnen Pixelreihe haben? Nicht viel. Wir müssen nur den Laplace-Wert für jedes einzelne Pixel notieren, während wir die direkte Nachbarbeziehung oder Topologie des Bildes berücksichtigen. Um die Sache etwas kniffliger zu machen, nehmen wir ein unregelmäßig geformtes zweidimensionales Bild.
4|9−−1|5|10|14−−−−2|6|11|15−−−−3|7|12|16−−8|13
Offensichtlich müssen wir jetzt einen zweidimensionalen Laplace-Wert nehmen, indem wir die zweiten partiellen Ableitungen in horizontaler und vertikaler Richtung summieren. Dafür benötigen wir die beiden direkten Nachbarn in jede Richtung. Die inneren Punkte5,6,7,10,11,12haben daher eine volle 2-d laplace erweiterung. Für Punkt5 es sieht zum Beispiel so aus:
l[5]=p[4]−2p[5]+p[6]+p[1]−2p[5]+p[10]=p[4]+p[6]+p[1]+p[10]−4p[5]
Für die Eckpunkte 1,3,4,8,9,13,14,16 Wir können keine diskrete zweite Ableitung konstruieren, also verwenden wir eine Randbedingung, z l[1]=0
Es sind noch zwei Punkte übrig, 2 und 15. Beide haben zwei direkte Nachbarn in horizontaler Richtung, jedoch nicht in vertikaler Richtung. Wir können daher eine Randbedingung anwenden, die nur die vertikale Richtung beeinflusst, indem wir die vertikale zweite Ableitung auf Null setzen, während wir die diskrete zweite Ableitung horizontal auswerten und erhaltenl[2]=p[1]−2p[2]+p[3] und ebenso für l[15].
Nach dieser Konstruktion erhalten wir eine lineare Gleichung für jeden Punkt, der sie mit den Pixelwerten in Beziehung setzt. Wieder schreiben wir es als MatrixgleichungL=Mp, wo die Matrix in diesem Fall hat 16×16Einträge. Um genau zu sein, ist es
M=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜01001000000000000−200010000000000010000100000000000001000000000000000−41000100000000001−41000100000000001−400001000000000010000000000000000001000000000010000−41000000000010001−41000000000010001−400000000000000010000000000000100001000000000001000−200000000000010010⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Und wieder können wir nach dem Eigensystem dieser Matrix suchen. Eine schöne physikalische Interpretation der Bilder, die Sie als Eigenvektoren erhalten, besteht darin, dass sie die Schwingungsmoden einer Membran darstellen, die wie Ihr Bild geformt ist, wobei die Frequenzen durch die Eigenwerte gegeben sind.
Sie können dieses Spiel problemlos auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen erweitern, solange Sie die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Ihren Voxeln kennen. Formulieren Sie einfach die individuelle lineare Gleichung wie oben, konstruieren Sie eine Matrix und finden Sie das Eigensystem.
Mit den aus den Eigenvektoren des Laplace gewonnenen Informationen kann das Lösen von Differenzgleichungen mit dem diskreten Laplace stark vereinfacht werden. Sobald die Eigenstruktur gefunden ist, können abhängig von der Geometrie der Region alle Datensätze leicht in die Eigenbasis zerlegt werden und die Differenzgleichungen werden trivial.